作者mathblue (anlysis)
看板Math
标题[中学] 组合
时间Mon Jun 12 13:16:02 2023
证明：若二项式(7x+1)^n的展开式中至少有两项系数相同，则n≡7 (mod8)。
观察一些例子後发现只能式是相邻两项相等，就能有後面的结论。
但是一直没有比较严谨一点的证明。因此，上来请教各位。
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1F：推 a16745984 : 整理後发现 得n=7(mod8)时 项次是8n+7 n=0,1,2…, 06/12 23:09
2F：→ a16745984 : 系数相等是因为隔壁项C(8n+7)(n) 除以 C(8n+7)(n+1 06/12 23:09
3F：→ a16745984 : ) =7 至少有一相等 06/12 23:09
4F：→ a16745984 : 比较严谨的证明？指得是比较高难度的技巧吗？ 06/12 23:11
5F：→ a16745984 : 阿 看错证明的方向了 题目的方向比较难证 06/12 23:15
6F：→ yhliu : 想了很久仍不知如何证明非相邻两项，系数不可能相等 06/13 09:19
7F：推 Starvilo : 每7个数只有1个7的倍数，但每差1位就差7的因数 06/13 17:18
8F：推 Starvilo : 当我上面没说，也许高幂次有！ 06/13 18:04
9F：推 Starvilo : 相邻的想法 参考看看 06/14 18:36
11F：推 Starvilo : 补充（n-r1)x~x(n-r2+1)有d项 06/14 18:43
12F：推 Starvilo : 所以（n-r1)/7=r1+1=> n=8r1+7 得证 06/14 18:52
13F：→ musicbox810 : 可以解释一下不等式怎麽来的吗? 06/14 21:15
14F：推 Starvilo : 至少有7个因数的个数 06/14 21:21
15F：→ Starvilo : 7的 06/14 21:22
16F：推 Starvilo : 简单的说分子的7次方大於等於分母的7次方，但分子 06/14 21:31
17F：→ Starvilo : 的7次方要如何取？考虑每连续7数必有一数7的倍数， 06/14 21:31
18F：→ Starvilo : 以此类推连续49就有49倍数 06/14 21:31
19F：→ musicbox810 : 第一个不等号不太懂 06/14 21:33
20F：→ musicbox810 : 好像懂了!我再想想看，谢谢S大 06/14 21:34
21F：→ musicbox810 : 第一个不等号还是不懂为何是小於等於 06/14 21:48
22F：推 Starvilo : D为分母小於等於分子？ 06/14 22:11
23F：→ musicbox810 : d是r1和r2的差，要看的不是(n-r1)(n-r1-1)...的7的 06/14 22:19
24F：→ musicbox810 : 因数吗?可是为何是用d/7^i的方式求7的次数? 06/14 22:19
25F：推 Starvilo : 连续乘就因为分子连续数刚好是d个，这d个至少可提 06/14 22:30
26F：→ Starvilo : 出几个7，就除7的幂次 06/14 22:30
27F：推 Starvilo : 分子个数（n-r1)-(n-r2+1)+1=r2-r1=d 06/14 22:38
28F：→ musicbox810 : 请问[/7^i]+......+1为什麽要+1? 06/14 22:42
29F：推 Starvilo : r2 r1先天条件两不相等 06/14 22:44
30F：→ Starvilo : r2-r1>=1 06/14 22:44
31F：→ musicbox810 : 谢谢S大花这麽多时间解释，我再好好想一想，谢谢S大 06/14 22:46
32F：推 Starvilo : 题目两系数相等 组合选取错要不同啊～一个r1一个r 06/14 22:47
33F：→ Starvilo : 2 06/14 22:47
34F：→ Starvilo : 错改数 06/14 22:47
35F：→ musicbox810 : 是的，r1-r2>=1 06/14 22:54
36F：推 Starvilo : 我再思考应该不用加1 ，1<=d<=d/6 右边矛盾，所以 06/15 00:35
37F：→ Starvilo : 只有1可能。 06/15 00:35
38F：推 Starvilo : 我在重新研究一下！XD 06/15 08:04
39F：推 Starvilo : 配合数的幂次 06/15 08:05