作者zend (相)
看板Math
標題Re: [線代] 一題求解相似矩陣的問題
時間Tue May 23 23:53:40 2023
※ 引述《css186 (偷磨牙)》之銘言：
: 題目如下
: https://i.imgur.com/9XrEGwy.png
: 目前想到的解題思路是，要找一個矩陣P
: 使得N = P^-1MP
: 解釋的部分就看一下三點是否成立
: 1. det(M)=det(N)
: 2. rank(M)=rank(N)
: 3. trace是否相同
: 但目前看起來沒有N矩陣的basis相關條件(?
: (或是其實有只是我沒看懂而已?)
: 想了很久想不出怎麼寫
: 所以想來尋求版友協助
: 感激不盡
解特徵方程的時候會得到重根4,
然後解 eigenvector v = [x,y] 的時候會得到 [0,0].
這意味著M無法對角化.只能計算M的 Jordan Canonical Form.
如果查一下Jordan Form的定義,可發現M是可以被轉化成
[[4,1],[0,4]]的.題目既然有額外要求,
你的目標就是把N設成[[4,3],[0,4]]然後去解PN = MP.
四個變數,四個方程,應該要能夠解出來,我記得Jordan Form是有存在性定理的.
解不出來會和定理違背.
現在線代都開始考 Jordan Form 了,這老師是要來虐學生逆?
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1F：推 css186 : 剛才硬湊數字是有算出一個N矩陣是[[2 3], [-2 5]] 05/24 00:06
2F：→ css186 : 但您提供的思路很完整 我會研究一下看怎麼算 05/24 00:06
3F：→ css186 : 感謝協助 05/24 00:06
4F：→ cuylerLin : M 有兩個共軛特徵根哪來無法對角化...... 05/24 00:43
5F：→ zend : 致歉.我剛剛沒自己算特徵方程式.用ChatGPT算. 05/24 00:52
6F：推 css186 : 不好意思驚動到大家剛剛已經算出來了 M可以對角化 05/24 00:53
7F：→ zend : 結果被它唬了. 正解如樓上所說會有兩複數根. 05/24 00:53
8F：推 css186 : 感謝 zend大與cuyler大協助 05/24 00:55