作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
標題Re: [中學] 請問一個化簡為常數函數
時間Sat Apr 29 23:43:08 2023
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 如題, 我觀察到對任何正整數p, 任何正整數N>=(p+1), 都會有:
: N-1 nπ
: Σ (cos(x-──))^(2p) = constant, denpending on p and N
: n=0 N
: 如圖 https://www.desmos.com/calculator/var1czvemp
: 我想知道這個常數是什麼
: 自己化簡時如果把cos(x-(nπ)/N)拆成cos*cos+sin*sin, 之後光是2p次方就很頭痛
: 而如果把(cos(x-(nπ)/N))^(2p)寫成(1-(sin(x-(nπ)/N))^2)^p, 好像也沒啥幫助
: 而如果用e^ix取等比級數再取實部這招, 只能適用於p=0.5
: 我猜motivation應就是從p=1中, sin^2+cos^2=1 而來的
: 完全不知道怎麼化簡...
: 謝謝幫忙~
: -------------------------
: 這個問題的一般式就是 Σ_{n=0~N-1} (cos(a+nd))^q, d!=0, q正整數, a,d任意實數
: 我嘗試用cos^q(x) = ((1/2)*(e^(ix)+e^(-ix)))^q 然後做二項式定理
: 然後再用級數交換與等比級數, 最後導到:
: https://www.desmos.com/calculator/horz48lm0b
這直接就可以做出來了
令a = exp(-iπ/N)
N-1 nπ
Σ (cos(x-──))^(2p)
n=0 N
N-1
= Σ [(1/2)(exp(ix)(a^n) + exp(-ix)(a^(-n)))]^(2p)
n=0
N-1 2p
= Σ (1/2)^(2p) Σ C(2p, k) exp(ix2(k-p)) a^(2(k-p)n)
n=0 k=0
2p N-1
= Σ (1/2)^(2p) C(2p, k) exp(ix2(k-p)) Σ a^(2(k-p)n)
k=0 n=0
= N (1/2)^(2p) C(2p, p)
= N (2p-1)!! / (2p)!!
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.227.99.128 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1682782990.A.6AA.html
1F：推 LimSinE : 推，這反過來可當成cos^2p 積分的黎曼和解法 04/29 23:55
2F：推 Vulpix : 所以問題是最後那項 = Nδ(k,p) 04/30 00:12
3F：→ Vulpix : 這樣原原po所謂的「一般情況」應該還是不好算？ 04/30 00:13
4F：推 znmkhxrw : 謝謝H大, 我也是用cos複數表示與二項式, 卻化簡出 04/30 13:33
5F：→ znmkhxrw : 醜醜的東西, 我再試試看, 謝~Y 04/30 13:33
6F：→ znmkhxrw : @V大 我原文下面有分享通式的一些模擬結果 簡單來說 04/30 13:34
7F：→ znmkhxrw : 就是《一般情況》會有很多東西不會抵銷化簡 04/30 13:34