作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
标题Re: [中学] 请问一个化简为常数函数
时间Sat Apr 29 23:43:08 2023
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言：
: 如题, 我观察到对任何正整数p, 任何正整数N>=(p+1), 都会有:
: N-1 nπ
: Σ (cos(x-──))^(2p) = constant, denpending on p and N
: n=0 N
: 如图 https://www.desmos.com/calculator/var1czvemp
: 我想知道这个常数是什麽
: 自己化简时如果把cos(x-(nπ)/N)拆成cos*cos+sin*sin, 之後光是2p次方就很头痛
: 而如果把(cos(x-(nπ)/N))^(2p)写成(1-(sin(x-(nπ)/N))^2)^p, 好像也没啥帮助
: 而如果用e^ix取等比级数再取实部这招, 只能适用於p=0.5
: 我猜motivation应就是从p=1中, sin^2+cos^2=1 而来的
: 完全不知道怎麽化简...
: 谢谢帮忙~
: -------------------------
: 这个问题的一般式就是 Σ_{n=0~N-1} (cos(a+nd))^q, d!=0, q正整数, a,d任意实数
: 我尝试用cos^q(x) = ((1/2)*(e^(ix)+e^(-ix)))^q 然後做二项式定理
: 然後再用级数交换与等比级数, 最後导到:
: https://www.desmos.com/calculator/horz48lm0b
这直接就可以做出来了
令a = exp(-iπ/N)
N-1 nπ
Σ (cos(x-──))^(2p)
n=0 N
N-1
= Σ [(1/2)(exp(ix)(a^n) + exp(-ix)(a^(-n)))]^(2p)
n=0
N-1 2p
= Σ (1/2)^(2p) Σ C(2p, k) exp(ix2(k-p)) a^(2(k-p)n)
n=0 k=0
2p N-1
= Σ (1/2)^(2p) C(2p, k) exp(ix2(k-p)) Σ a^(2(k-p)n)
k=0 n=0
= N (1/2)^(2p) C(2p, p)
= N (2p-1)!! / (2p)!!
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1F：推 LimSinE : 推，这反过来可当成cos^2p 积分的黎曼和解法 04/29 23:55
2F：推 Vulpix : 所以问题是最後那项 = Nδ(k,p) 04/30 00:12
3F：→ Vulpix : 这样原原po所谓的「一般情况」应该还是不好算？ 04/30 00:13
4F：推 znmkhxrw : 谢谢H大, 我也是用cos复数表示与二项式, 却化简出 04/30 13:33
5F：→ znmkhxrw : 丑丑的东西, 我再试试看, 谢~Y 04/30 13:33
6F：→ znmkhxrw : @V大 我原文下面有分享通式的一些模拟结果 简单来说 04/30 13:34
7F：→ znmkhxrw : 就是《一般情况》会有很多东西不会抵销化简 04/30 13:34