作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [幾何] 請協助求出DE線段長
時間Thu Apr 6 20:49:18 2023
※ 引述《LPH66 ( )》之銘言：
: ※ 引述《shenghan1030 (ShengHan)》之銘言：
: : 只知道可以連接AC線段，之後就卡住了
: : 再麻煩各位協助解題，謝謝
: : https://i.imgur.com/UoLT5Xr.jpg
: 由角平分線的內分比知 BD:DE = BA:AE
: 故若將 D 固定, A 的軌跡會在一個過 D 的阿波羅尼奧斯圓上
: 再由垂直平分條件, C 點即為這圓的圓心
: https://i.imgur.com/PXlcvMG.png
: 將 B-D-E-C 向右延伸到和圓交另一點 F
: F 在圓上表示 BF:FE 也是這個比, 也就是 BF:FE = BD:DE
: 若令 DE = x 則 B-D-E-C-F 這一段的四個長度都是已知
: 因此可以列出等式 (15+x):(12+x) = (3-x):x
: 乘開化簡得二次式 2x^2+24x-36 = 0 解得 x= -6 ± 3√6 (負不合)
來個略顯暴力的作法……
記號同上，多設一個 k。
DE = x, BD = 3-x, AE = kx, AB = k(3-x)
=> AD = √{ AB*AE-BD*DE } = √{ (k^2-1)x(3-x) }
計算 cos∠ADE = √{ (k^2-1)/x(3-x) } * (3-2x)/2
然後透過 DM = AD/2 和 DM = CD*cos∠ADE 得
√{ (k^2-1)x(3-x) } /2 = (6+x)*√{ (k^2-1)/x(3-x) } * (3-2x)/2
=> (3-2x)(6+x) = x(3-x)
解出來就當然都一樣。
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1F：推 shenghan1030: 用三角函數真的太暴力了XD 04/06 21:10