作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [几何] 请协助求出DE线段长
时间Thu Apr 6 20:49:18 2023
※ 引述《LPH66 ( )》之铭言：
: ※ 引述《shenghan1030 (ShengHan)》之铭言：
: : 只知道可以连接AC线段，之後就卡住了
: : 再麻烦各位协助解题，谢谢
: : https://i.imgur.com/UoLT5Xr.jpg
: 由角平分线的内分比知 BD:DE = BA:AE
: 故若将 D 固定, A 的轨迹会在一个过 D 的阿波罗尼奥斯圆上
: 再由垂直平分条件, C 点即为这圆的圆心
: https://i.imgur.com/PXlcvMG.png
: 将 B-D-E-C 向右延伸到和圆交另一点 F
: F 在圆上表示 BF:FE 也是这个比, 也就是 BF:FE = BD:DE
: 若令 DE = x 则 B-D-E-C-F 这一段的四个长度都是已知
: 因此可以列出等式 (15+x):(12+x) = (3-x):x
: 乘开化简得二次式 2x^2+24x-36 = 0 解得 x= -6 ± 3√6 (负不合)
来个略显暴力的作法……
记号同上，多设一个 k。
DE = x, BD = 3-x, AE = kx, AB = k(3-x)
=> AD = √{ AB*AE-BD*DE } = √{ (k^2-1)x(3-x) }
计算 cos∠ADE = √{ (k^2-1)/x(3-x) } * (3-2x)/2
然後透过 DM = AD/2 和 DM = CD*cos∠ADE 得
√{ (k^2-1)x(3-x) } /2 = (6+x)*√{ (k^2-1)/x(3-x) } * (3-2x)/2
=> (3-2x)(6+x) = x(3-x)
解出来就当然都一样。
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1F：推 shenghan1030: 用三角函数真的太暴力了XD 04/06 21:10