作者rtyxn ()
看板Math
標題[中學] 已知長方體三頂點坐標，求長方體體積。
時間Mon Mar 20 10:39:28 2023
大家好，這裡有一題高二數學B：
已知長方體三頂點坐標為
A(0,0,0)
B(1,2,3)
C(3,-2,2)
，試討論長方體的體積可否被唯一決定，若可，試求出體積。
===========================================================================
我覺得體積可被唯一決定，這點可由三頂點彼此的距離看出，△ABC為銳角三角形，這
導致三頂點兩兩位於長方體三個面的對角，但重點來了，那個體積是多少？
因為是高二數學B，我被限制無法使用空間向量，有試過假設第四個頂點為(x,y,z)並
使用畢氏定理，但結果沒唯一解(x,y,z)。
請賜教，感謝！再次提醒，請不要使用空間向量及其相關概念，謝謝。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.71.8.26 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1679279970.A.B74.html
1F：→ pnicarevol : 三條線段平方，各是長方體某兩稜的平方和，可解三稜 03/20 11:02
花了些時間才聽懂你的話，這確實可行，得到$V=6\sqrt{15}$。感謝。
2F：→ musicbox810 : 我想順便問一個更深入的問題，是否長方體各頂點可唯 03/20 11:27
3F：→ musicbox810 : 一被決定? 03/20 11:27
4F：→ freePrester : @music 明顯不行 03/20 11:50
5F：→ freePrester : 若有一長方體符合，則以該三點平面對稱會有另一解 03/20 11:51
6F：→ pnicarevol : 應該有對稱於平面ABC的兩個長方體 03/20 11:55
7F：→ m3791913 : 長方體有8頂點,題目只給3點.我隨便畫就超過三種明 03/20 12:24
8F：→ m3791913 : 顯不同的長方體,體積當然不唯一 03/20 12:24
誠摯的懸賞P幣100，願聞其詳，真心感謝。
我真的蠻好奇你擺放三頂點的方式，因為銳角三角形的關係，我覺得擺法的自由度很低，
基本上應該只有原文描述的那種，這體積的值應該是唯一的，至於其他五個頂點怎麼擺，
我倒是不爭執它們的唯一性，推文其他人似乎有想法。
這題來自龍騰SUPER講義，但我手邊沒有解答，改天找到再讓大家看看。
※ 編輯: rtyxn (111.71.8.26 臺灣), 03/20/2023 13:04:59
9F：→ musicbox810 : 可是這個三角形是三邊不等長，要怎麼對稱作出兩個長 03/20 13:05
10F：→ musicbox810 : 方體? 03/20 13:05
11F：→ pnicarevol : 不是長方體本身對稱於平面ABC，而是滿足要求的長方 03/20 13:24
12F：→ pnicarevol : 體有兩個，而這兩個長方體會對稱於平面ABC 03/20 13:25
※ 編輯: rtyxn (111.71.8.26 臺灣), 03/20/2023 13:44:03
14F：→ musicbox810 : 算出來的三邊長唯一，還能做出兩個長方體? 03/20 13:57
15F：→ musicbox810 : 謝謝，有點懂了 03/20 13:59
16F：→ musicbox810 : 想另外請問pni大，怎麼知道PQ通過H? 03/20 13:59
17F：→ m3791913 : 我錯了,忽略長方體的條件,只畫的出兩個不同長方體 03/20 14:02
19F：→ pnicarevol : 這題在super數A也有收錄，答案是6√15沒錯 03/20 16:04
Thanks for sharing. Thank you.
※ 編輯: rtyxn (111.71.8.26 臺灣), 03/20/2023 16:17:51
20F：推 musicbox810 : 謝謝pni大，等一下仔細研讀 03/20 17:29
21F：→ musicbox810 : 三垂線定理變形?沒有看過，可以證明嗎? 03/20 23:28
22F：推 Bugquan : 不過認真說，借這個題目教空間向量還蠻好的，不過 03/21 01:07
23F：→ Bugquan : 課綱就這樣 03/21 01:07
25F：→ pnicarevol : 其實就是換個方向的三垂線定理，將直線AB以BC為軸 03/21 09:35
26F：→ pnicarevol : 轉上去得到直線BP，P對AB的投影點就是P對E的投影點 03/21 09:36