作者rtyxn ()
看板Math
标题[中学] 已知长方体三顶点坐标，求长方体体积。
时间Mon Mar 20 10:39:28 2023
大家好，这里有一题高二数学B：
已知长方体三顶点坐标为
A(0,0,0)
B(1,2,3)
C(3,-2,2)
，试讨论长方体的体积可否被唯一决定，若可，试求出体积。
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我觉得体积可被唯一决定，这点可由三顶点彼此的距离看出，△ABC为锐角三角形，这
导致三顶点两两位於长方体三个面的对角，但重点来了，那个体积是多少？
因为是高二数学B，我被限制无法使用空间向量，有试过假设第四个顶点为(x,y,z)并
使用毕氏定理，但结果没唯一解(x,y,z)。
请赐教，感谢！再次提醒，请不要使用空间向量及其相关概念，谢谢。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 111.71.8.26 (台湾)
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1F：→ pnicarevol : 三条线段平方，各是长方体某两棱的平方和，可解三棱 03/20 11:02
花了些时间才听懂你的话，这确实可行，得到$V=6\sqrt{15}$。感谢。
2F：→ musicbox810 : 我想顺便问一个更深入的问题，是否长方体各顶点可唯 03/20 11:27
3F：→ musicbox810 : 一被决定? 03/20 11:27
4F：→ freePrester : @music 明显不行 03/20 11:50
5F：→ freePrester : 若有一长方体符合，则以该三点平面对称会有另一解 03/20 11:51
6F：→ pnicarevol : 应该有对称於平面ABC的两个长方体 03/20 11:55
7F：→ m3791913 : 长方体有8顶点,题目只给3点.我随便画就超过三种明 03/20 12:24
8F：→ m3791913 : 显不同的长方体,体积当然不唯一 03/20 12:24
诚挚的悬赏P币100，愿闻其详，真心感谢。
我真的蛮好奇你摆放三顶点的方式，因为锐角三角形的关系，我觉得摆法的自由度很低，
基本上应该只有原文描述的那种，这体积的值应该是唯一的，至於其他五个顶点怎麽摆，
我倒是不争执它们的唯一性，推文其他人似乎有想法。
这题来自龙腾SUPER讲义，但我手边没有解答，改天找到再让大家看看。
※ 编辑: rtyxn (111.71.8.26 台湾), 03/20/2023 13:04:59
9F：→ musicbox810 : 可是这个三角形是三边不等长，要怎麽对称作出两个长 03/20 13:05
10F：→ musicbox810 : 方体? 03/20 13:05
11F：→ pnicarevol : 不是长方体本身对称於平面ABC，而是满足要求的长方 03/20 13:24
12F：→ pnicarevol : 体有两个，而这两个长方体会对称於平面ABC 03/20 13:25
※ 编辑: rtyxn (111.71.8.26 台湾), 03/20/2023 13:44:03
14F：→ musicbox810 : 算出来的三边长唯一，还能做出两个长方体? 03/20 13:57
15F：→ musicbox810 : 谢谢，有点懂了 03/20 13:59
16F：→ musicbox810 : 想另外请问pni大，怎麽知道PQ通过H? 03/20 13:59
17F：→ m3791913 : 我错了,忽略长方体的条件,只画的出两个不同长方体 03/20 14:02
19F：→ pnicarevol : 这题在super数A也有收录，答案是6√15没错 03/20 16:04
Thanks for sharing. Thank you.
※ 编辑: rtyxn (111.71.8.26 台湾), 03/20/2023 16:17:51
20F：推 musicbox810 : 谢谢pni大，等一下仔细研读 03/20 17:29
21F：→ musicbox810 : 三垂线定理变形?没有看过，可以证明吗? 03/20 23:28
22F：推 Bugquan : 不过认真说，借这个题目教空间向量还蛮好的，不过 03/21 01:07
23F：→ Bugquan : 课纲就这样 03/21 01:07
25F：→ pnicarevol : 其实就是换个方向的三垂线定理，将直线AB以BC为轴 03/21 09:35
26F：→ pnicarevol : 转上去得到直线BP，P对AB的投影点就是P对E的投影点 03/21 09:36