作者toba (永遠的快樂)
看板Math
標題[代數] 一題完全平方數的證明
時間Mon Feb 13 15:27:22 2023
已知a、b皆為正整數
且3a^2+a=4b^+b
證明(a-b)(3a+3b+1)為完全平方數
且a-b及3a+3b+1皆為完全平方數
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1F：→ FAlin : 建中科班入學考題 假設最大公因數的分解即可 02/13 15:55
2F：推 alan23273850: 樓上太複雜，把該式移項成3(a^2-b^2)+(a-b)=b^2， 02/13 19:00
3F：→ alan23273850: 也就是 (3a+3b+1)(a-b) = b^2，至少可先證最後一條 02/13 19:02
4F：推 Vulpix : 這題應該是出錯了。 02/13 19:09
5F：→ alan23273850: 樓上怎麼說呢 02/13 19:13
6F：→ GameKnight : 依條件移項可得 3a^2 + a - (4b^2 + b) = 0 ， 02/13 20:12
7F：→ GameKnight : a的公式解為 a = (-1±sqrt(16b^2+4b+1))/6 02/13 20:12
8F：→ GameKnight : 此時sqrt(16b^2+4b+1)應為整數， 02/13 20:12
9F：→ GameKnight : 但(4b)^2 < 16b^2+4b+1 <(4b+1)^2，與條件矛盾 02/13 20:13
10F：→ alan23273850: 樓上公式解好像解錯了 02/13 20:34
11F：→ FAlin : 我講的是第二小題喔 02/13 20:38
12F：→ alan23273850: 那樓上會用到我的分解嗎？ 02/13 21:23
13F：推 FAlin : 也要用，但我猜第一小題四分應該是送分等級，大家 02/13 21:49
14F：→ FAlin : 都卡在第二小題 02/13 21:49
15F：推 Starvilo : d(h-k)(3dh+3dk+1)=d^2k^2, (d,3dh+3dk+1)=1&(h-k 02/13 21:55
16F：→ Starvilo : ,k)=1 ,(h-k,d)=d~? 02/13 21:55
17F：→ GameKnight : 確實少乘3出錯了，剛有找出一組解 a=30, b=26 02/13 22:27
18F：推 GameKnight : 照上面的因式分解(a-b)(3a+3b+1) = b^2， 02/13 23:18
19F：→ GameKnight : 接下來只要證明a-b與3a+3b+1互質即可， 02/13 23:18
20F：→ GameKnight : 令a-b與3a+3b+1的gcd為d， 02/13 23:18
21F：→ GameKnight : 可得d為 (3a+3b+1) - 3(a-b) = 6b+1的因數， 02/13 23:18
22F：→ GameKnight : 且d更為 b(6b+1) - 6b^2 = 1 的因數，則 d=1 02/13 23:18
23F：推 GameKnight : 上面那行得d為b的因數，配合d為6b+1的因數得d=1 02/13 23:23
24F：推 alan23273850: 水喔！樓上兩大巨頭的解答都非常的清楚，原來拆成 02/13 23:32
25F：→ alan23273850: 最大公因數真是豁然開朗！ 02/13 23:32
26F：推 Refauth : 台灣現在的國中生程度應該傾向於拆分因數這個方法 02/18 14:09