作者toba (永远的快乐)
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标题[代数] 一题完全平方数的证明
时间Mon Feb 13 15:27:22 2023
已知a、b皆为正整数
且3a^2+a=4b^+b
证明(a-b)(3a+3b+1)为完全平方数
且a-b及3a+3b+1皆为完全平方数
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1F：→ FAlin : 建中科班入学考题 假设最大公因数的分解即可 02/13 15:55
2F：推 alan23273850: 楼上太复杂，把该式移项成3(a^2-b^2)+(a-b)=b^2， 02/13 19:00
3F：→ alan23273850: 也就是 (3a+3b+1)(a-b) = b^2，至少可先证最後一条 02/13 19:02
4F：推 Vulpix : 这题应该是出错了。 02/13 19:09
5F：→ alan23273850: 楼上怎麽说呢 02/13 19:13
6F：→ GameKnight : 依条件移项可得 3a^2 + a - (4b^2 + b) = 0 ， 02/13 20:12
7F：→ GameKnight : a的公式解为 a = (-1±sqrt(16b^2+4b+1))/6 02/13 20:12
8F：→ GameKnight : 此时sqrt(16b^2+4b+1)应为整数， 02/13 20:12
9F：→ GameKnight : 但(4b)^2 < 16b^2+4b+1 <(4b+1)^2，与条件矛盾 02/13 20:13
10F：→ alan23273850: 楼上公式解好像解错了 02/13 20:34
11F：→ FAlin : 我讲的是第二小题喔 02/13 20:38
12F：→ alan23273850: 那楼上会用到我的分解吗？ 02/13 21:23
13F：推 FAlin : 也要用，但我猜第一小题四分应该是送分等级，大家 02/13 21:49
14F：→ FAlin : 都卡在第二小题 02/13 21:49
15F：推 Starvilo : d(h-k)(3dh+3dk+1)=d^2k^2, (d,3dh+3dk+1)=1&(h-k 02/13 21:55
16F：→ Starvilo : ,k)=1 ,(h-k,d)=d~? 02/13 21:55
17F：→ GameKnight : 确实少乘3出错了，刚有找出一组解 a=30, b=26 02/13 22:27
18F：推 GameKnight : 照上面的因式分解(a-b)(3a+3b+1) = b^2， 02/13 23:18
19F：→ GameKnight : 接下来只要证明a-b与3a+3b+1互质即可， 02/13 23:18
20F：→ GameKnight : 令a-b与3a+3b+1的gcd为d， 02/13 23:18
21F：→ GameKnight : 可得d为 (3a+3b+1) - 3(a-b) = 6b+1的因数， 02/13 23:18
22F：→ GameKnight : 且d更为 b(6b+1) - 6b^2 = 1 的因数，则 d=1 02/13 23:18
23F：推 GameKnight : 上面那行得d为b的因数，配合d为6b+1的因数得d=1 02/13 23:23
24F：推 alan23273850: 水喔！楼上两大巨头的解答都非常的清楚，原来拆成 02/13 23:32
25F：→ alan23273850: 最大公因数真是豁然开朗！ 02/13 23:32
26F：推 Refauth : 台湾现在的国中生程度应该倾向於拆分因数这个方法 02/18 14:09