※ 引述《Dream (天使)》之銘言： : a,b,c 為複數 : 已知： : f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c : f(x) = 0的所有複數根，絕對值都為1 : 試證明g(x) = x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c| = 0 : 所有複數根絕對值都為1 證明分3步驟 (1) 0 < |a| < 3 = = (2)claim: |a|=|b| (3)證明原題 ------------------------------- 假設f(x)=0 三根為 α β γ (1) |a|=|α+ β+ γ| < |α|+|β|+|γ|=3 = (2) |b|=| αγ+ βγ+αβ|=| αγ+ βγ+αβ|*|γ霸| =|α+ β+ αβ(γ霸)| 欲證明|α+ β+ γ| = |α+ β+ αβ(γ霸)| (i)若αβ(γ霸) + γ=0 或 α+ β=0 顯然上述結果成立 (ii)若 αβ(γ霸) + γ≠0 且 α+ β ≠0 令複數平面上 α, β, γ 的主幅角為 θ1, θ2, θ3 可知 αβ(γ霸) 的幅角為 θ1 + θ2 - θ3 γ 的幅角為 θ3 => αβ(γ霸) + γ 的幅角為 (θ1 + θ2)/2 或是 (θ1 + θ2)/2+180度 又 α+ β 的 幅角也為 (θ1 + θ2)/2 或是 (θ1 + θ2)/2+180度 視為向量來看就是 α+ β的方向 與 αβ(γ霸),γ 之間的角平分線方向 平行 (PS αβ(γ霸) + γ≠0 所以圖示上 會有角平分線方向) 示意圖 https://i.imgur.com/DzShKmT.jpg 因此|α+ β+ γ| = |α+ β+ αβ(γ霸)| => |a|=|b| (3) 考慮 (1-|a|)/2 由(1)知此數 -1 < (1-|a|)/2 < 1 = = 取適當θ 使得 cosθ=(1-|a|)/2 , sinθ>0 (這裡的sin是根據cos對應的選擇) = 令 ω= cosθ +isinθ ω'=cosθ -isinθ ω+ω'+ (-1)= 2cosθ-1 = -|a| -ω -ω' +ωω'= -2cosθ+1 =|a| =|b| ωω' (-1)=-1 = -|c| 故 ω , ω' , -1 為 g(x)=0 三根 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.163.37.164 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1675740629.A.E34.html ※ 編輯: ntnusliver (1.163.37.164 臺灣), 02/07/2023 12:32:14 ※ 編輯: ntnusliver (1.163.37.164 臺灣), 02/07/2023 16:10:16