※ 引述《Dream (天使)》之铭言： : a,b,c 为复数 : 已知： : f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c : f(x) = 0的所有复数根，绝对值都为1 : 试证明g(x) = x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c| = 0 : 所有复数根绝对值都为1 证明分3步骤 (1) 0 < |a| < 3 = = (2)claim: |a|=|b| (3)证明原题 ------------------------------- 假设f(x)=0 三根为 α β γ (1) |a|=|α+ β+ γ| < |α|+|β|+|γ|=3 = (2) |b|=| αγ+ βγ+αβ|=| αγ+ βγ+αβ|*|γ霸| =|α+ β+ αβ(γ霸)| 欲证明|α+ β+ γ| = |α+ β+ αβ(γ霸)| (i)若αβ(γ霸) + γ=0 或 α+ β=0 显然上述结果成立 (ii)若 αβ(γ霸) + γ≠0 且 α+ β ≠0 令复数平面上 α, β, γ 的主幅角为 θ1, θ2, θ3 可知 αβ(γ霸) 的幅角为 θ1 + θ2 - θ3 γ 的幅角为 θ3 => αβ(γ霸) + γ 的幅角为 (θ1 + θ2)/2 或是 (θ1 + θ2)/2+180度 又 α+ β 的 幅角也为 (θ1 + θ2)/2 或是 (θ1 + θ2)/2+180度 视为向量来看就是 α+ β的方向 与 αβ(γ霸),γ 之间的角平分线方向 平行 (PS αβ(γ霸) + γ≠0 所以图示上 会有角平分线方向) 示意图 https://i.imgur.com/DzShKmT.jpg 因此|α+ β+ γ| = |α+ β+ αβ(γ霸)| => |a|=|b| (3) 考虑 (1-|a|)/2 由(1)知此数 -1 < (1-|a|)/2 < 1 = = 取适当θ 使得 cosθ=(1-|a|)/2 , sinθ>0 (这里的sin是根据cos对应的选择) = 令 ω= cosθ +isinθ ω'=cosθ -isinθ ω+ω'+ (-1)= 2cosθ-1 = -|a| -ω -ω' +ωω'= -2cosθ+1 =|a| =|b| ωω' (-1)=-1 = -|c| 故 ω , ω' , -1 为 g(x)=0 三根 --

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