作者arrenwu (不是綿芽的錯)
看板Math
標題Re: [中學] 三門問題
時間Sat Jan 28 12:33:21 2023
※ 引述《li7915566 (小傻瓜)》之銘言：
: 我的數學不好
: 但對於三門問題（Monty Hall problem）的解答
: 覺得很不合理 也找不到讓我滿意的答案
: 據說這題換門才是正確的
那我來寫個「換門才是正確」的數學論述好了
選擇不換門的中獎機率
分別給予三個門 1,2,3 的數字
首先，定義隨機變數 X 為被選定的門，
隨機變數 T 為被有獎品的門
ex.事件 {X = 1 , T = 2} 的意思就是 {選了1號門，而獎品是在2號門}
這個背景中， X,T 為獨立隨機變數，而 T 均勻分布在 S = {1,2,3}
所以如果選擇「不換門」，中獎機率就是
P(X=T) = 1/3
接著，我們開始考慮 換門 的情況。我先是要定義兩個新東西
(a) 剩餘函數 r
在 S = {1,2,3} 對於任意不同的兩個 x,y，定義 r(x,y) 為 剩下的那個數字
這函數實際上長這樣：
r(1,2) = 3
r(2,1) = 3
r(2,3) = 1
r(3,2) = 1
r(3,1) = 2
r(1,3) = 2
(r(x,x) 也可以定義啦 不過隨便寫都無妨 反正不重要)
然後她有兩個性質：對於 任意不同的兩個 x,y
(i) r(x,r(x,y)) = y
(ii) r(x,y) ≠ x
(b) 隨機變數 H
這邊我要多定義一個 隨機變數 H 來代表被主持人打開的門。
這個 H 必然不會跟 已選擇的門 和 有獎品的門 重疊
所以
P(X≠H) = 1 且 P(T≠H) = 1
這也導致了：當一開始選擇的門 X 跟獎品位置 T不一樣的時候，H一定是r(X,T)
也就是
P(H=r(X,T)|X≠T) = 1
選擇換門的中獎機率
一開始選 X，主持人開了 H，所以換門的話，你換的門就會是 r(X,H)
所以換門的中獎機率是
P( r(X,H)=T ) = P(r(X,H) = T|X≠T)P(X≠T) + P(r(X,H) = T|X=T)P(X=T)
接著分析 P(r(X,H) = T|X≠T) 和 P(r(X,H) = T|X=T)
(1) P(r(X,H) = T|X≠T) = P(r(X, r(X,T)) = T|X≠T)
( P(H=r(X,T)|X≠T) = 1 )
= 1
( r(x,r(x,y)) = y )
(2) P(r(X,H) = T|X=T) = P(r(T,H)=T| X=T)
= 0
( r(x,y) ≠ x )
所以
P( r(X,H)=T ) = P(r(X,H) = T|X≠T)P(X≠T) + P(r(X,H) = T|X=T)P(X=T)
= 1 * P(X≠T) + 0 * P(X=T)
= P(X≠T)
= 2/3
所以 換門中獎的機率是 2/3
不換門中獎的機率是 1/3
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※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 01/28/2023 12:38:38