作者arrenwu (不是绵芽的错)
看板Math
标题Re: [中学] 三门问题
时间Sat Jan 28 12:33:21 2023
※ 引述《li7915566 (小傻瓜)》之铭言：
: 我的数学不好
: 但对於三门问题（Monty Hall problem）的解答
: 觉得很不合理 也找不到让我满意的答案
: 据说这题换门才是正确的
那我来写个「换门才是正确」的数学论述好了
选择不换门的中奖机率
分别给予三个门 1,2,3 的数字
首先，定义随机变数 X 为被选定的门，
随机变数 T 为被有奖品的门
ex.事件 {X = 1 , T = 2} 的意思就是 {选了1号门，而奖品是在2号门}
这个背景中， X,T 为独立随机变数，而 T 均匀分布在 S = {1,2,3}
所以如果选择「不换门」，中奖机率就是
P(X=T) = 1/3
接着，我们开始考虑 换门 的情况。我先是要定义两个新东西
(a) 剩余函数 r
在 S = {1,2,3} 对於任意不同的两个 x,y，定义 r(x,y) 为 剩下的那个数字
这函数实际上长这样：
r(1,2) = 3
r(2,1) = 3
r(2,3) = 1
r(3,2) = 1
r(3,1) = 2
r(1,3) = 2
(r(x,x) 也可以定义啦 不过随便写都无妨 反正不重要)
然後她有两个性质：对於 任意不同的两个 x,y
(i) r(x,r(x,y)) = y
(ii) r(x,y) ≠ x
(b) 随机变数 H
这边我要多定义一个 随机变数 H 来代表被主持人打开的门。
这个 H 必然不会跟 已选择的门 和 有奖品的门 重叠
所以
P(X≠H) = 1 且 P(T≠H) = 1
这也导致了：当一开始选择的门 X 跟奖品位置 T不一样的时候，H一定是r(X,T)
也就是
P(H=r(X,T)|X≠T) = 1
选择换门的中奖机率
一开始选 X，主持人开了 H，所以换门的话，你换的门就会是 r(X,H)
所以换门的中奖机率是
P( r(X,H)=T ) = P(r(X,H) = T|X≠T)P(X≠T) + P(r(X,H) = T|X=T)P(X=T)
接着分析 P(r(X,H) = T|X≠T) 和 P(r(X,H) = T|X=T)
(1) P(r(X,H) = T|X≠T) = P(r(X, r(X,T)) = T|X≠T)
( P(H=r(X,T)|X≠T) = 1 )
= 1
( r(x,r(x,y)) = y )
(2) P(r(X,H) = T|X=T) = P(r(T,H)=T| X=T)
= 0
( r(x,y) ≠ x )
所以
P( r(X,H)=T ) = P(r(X,H) = T|X≠T)P(X≠T) + P(r(X,H) = T|X=T)P(X=T)
= 1 * P(X≠T) + 0 * P(X=T)
= P(X≠T)
= 2/3
所以 换门中奖的机率是 2/3
不换门中奖的机率是 1/3
--
角卷绵芽三周年纪念套组
https://i.imgur.com/2lL7GV3.jpg
预购开放至 2023/01/30 下午五点 别错过罗！
官方购买连结：https://bit.ly/3jC2OFX
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 98.45.195.96 (美国)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1674880403.A.356.html
※ 编辑: arrenwu (98.45.195.96 美国), 01/28/2023 12:38:38