請問一下, 我想證明: 線性實數常係數齊次遞迴方程如果其每個特徵根的絕對值都小於1 則解都趨近於0 我知道有個證明是找到解空間的基底的長相, 然後就得證 但是這個證法要完整地寫出來很複雜, 因為特徵多項式的解有很多case要討論: (1) 重根/無重根, 重根的話又要看general eigenspace大小 (2) 實根/虛根 粗糙的來說, 如果根是實根λ, 解會是λ^n*(c_0+c_1*n+c_2*n^2+...)這種形式 根是虛根λ, 解會是|λ|^n(cos+sin...)這種形式 最複雜的大概是同時是虛根而且又有重根 而只要|λ|<1, 上述的解都會趨近於0 as n→+∞ --------------------------------------------------- 有鑑於以上, 我才好奇有沒有比較簡短的證法 因為有些其他性質我確實用方程式本身就能證出來, 不用透過解的長相 我才覺得這篇的問題應該有機會有其他證法 以下補充嚴格的數學描述: ================================================================== 令 a_1~a_N€R, a_N !=0 y_n 滿足 y_n + a_1*y_(n-1) + ... + a_N*y(n-N) = 0, for all n >= N p(x):= x^N + a_1*x^(N-1) + ... + a_N 為特徵多項式 若 over C來看, p(x)所有的根的絕對值都小於1 則 lim_{n→+∞} y_n = 0 ================================================================== 謝謝幫忙~ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1670079252.A.C4B.html 嗨V大~是的, 我就是自己試了一些方向都沒辦法用到特徵根 甚至我直接假設y_n極限存在為L, 也只是得到(1+a_1+...+a_N)*L = 0 完全沒有特徵根資訊 因此我才想問是不是有其他方式 有不複雜的討論方式可以分享嗎!? 我記得之前線性ODE時, 2x2是最簡單的, 3x3就要討論幾種case了 而老師跟課本舉例也只到3x3, 因為general的NxN有太多根的情形了... 如果有簡單寫出通解的證明我也想知道, 謝謝! "每一項也就λ^n乘上n的多項式" 這結論對我來說就是要分析每個λ的重數才能得到 還是V大你意思是, 只要λ是特徵多項式的m重根, 那就存在m個數列 y_k_n = (λ^n)*(n^(k-1)), k=1~m 是線性獨立的 如果λ是虛數再換成cos, sin即可? 如果是這樣的話確實很快耶! 我文中說要討論general eigenspace說很複雜的意思是 我把線性方程轉成矩陣形式來看 Y_n = A*Y_(n-1), 其中A是矩陣 而A的特徵多項式就跟差分方程的特徵多項式一樣 因此接下來要對A做Jordan form時就會需要討論每個λ的情形 看來直接用原差分方程做會避開很多矩陣會遇到的麻煩耶! w大是說我上面回V大的那串吧 那我筆誤了 我這篇都是討論齊次的 我改一下 謝謝 嗨V大, 非常謝謝你~了解了! 聽你的解釋確實給了【原本我在乎A的Jordan form還要討論很多】一個不用討論的理由 A因為長相的關係, 導致其Jordan form很簡單(每個eigenvalue只有一個Jordan block) 所以不管直接證線性獨立, 或是真的找A的Jordan form, 都是簡單的事 再次感謝~ 嗨a大, 你的一元高次跟二元一次分別是? 線性遞迴的 y_n = a_1*y_(n-1) + ... + a_N*y_(n-N) + x_n 就是你的一元高次嗎? 如果是的話, 我是不知道如何解釋"為什麼" 單純就是令 Y_n:=[y_n y_(n-1)...y_(n-N)]^t, X_n = [x_n 0...0] 的話 原方程很容易證明等價於Y_n = A*Y_(n-1) + X_n 是很常聽到一階線性常係數ODE的離散型就是差分方程啦 不過細節上還是有差, 但是也是有相似的地方 比如這篇的差分方程寫成矩陣: Y_n = A*Y_(n-1) + X_n 而一階線性ODE: Y(t)' = A*Y(t) + X(t) 通解表達式都會跟求A的eigenvalue有關 不過ODE的A是任意矩陣, 差分方程的A是很多0的矩陣 所以差分方程的A解起來不像ODE那樣要討論一堆A的eigenvalue的重數問題 ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 12/05/2022 18:03:12