请问一下, 我想证明: 线性实数常系数齐次递回方程如果其每个特徵根的绝对值都小於1 则解都趋近於0 我知道有个证明是找到解空间的基底的长相, 然後就得证 但是这个证法要完整地写出来很复杂, 因为特徵多项式的解有很多case要讨论: (1) 重根/无重根, 重根的话又要看general eigenspace大小 (2) 实根/虚根 粗糙的来说, 如果根是实根λ, 解会是λ^n*(c_0+c_1*n+c_2*n^2+...)这种形式 根是虚根λ, 解会是|λ|^n(cos+sin...)这种形式 最复杂的大概是同时是虚根而且又有重根 而只要|λ|<1, 上述的解都会趋近於0 as n→+∞ --------------------------------------------------- 有监於以上, 我才好奇有没有比较简短的证法 因为有些其他性质我确实用方程式本身就能证出来, 不用透过解的长相 我才觉得这篇的问题应该有机会有其他证法 以下补充严格的数学描述: ================================================================== 令 a_1~a_N€R, a_N !=0 y_n 满足 y_n + a_1*y_(n-1) + ... + a_N*y(n-N) = 0, for all n >= N p(x):= x^N + a_1*x^(N-1) + ... + a_N 为特徵多项式 若 over C来看, p(x)所有的根的绝对值都小於1 则 lim_{n→+∞} y_n = 0 ================================================================== 谢谢帮忙~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1670079252.A.C4B.html 嗨V大~是的, 我就是自己试了一些方向都没办法用到特徵根 甚至我直接假设y_n极限存在为L, 也只是得到(1+a_1+...+a_N)*L = 0 完全没有特徵根资讯 因此我才想问是不是有其他方式 有不复杂的讨论方式可以分享吗!? 我记得之前线性ODE时, 2x2是最简单的, 3x3就要讨论几种case了 而老师跟课本举例也只到3x3, 因为general的NxN有太多根的情形了... 如果有简单写出通解的证明我也想知道, 谢谢! "每一项也就λ^n乘上n的多项式" 这结论对我来说就是要分析每个λ的重数才能得到 还是V大你意思是, 只要λ是特徵多项式的m重根, 那就存在m个数列 y_k_n = (λ^n)*(n^(k-1)), k=1~m 是线性独立的 如果λ是虚数再换成cos, sin即可? 如果是这样的话确实很快耶! 我文中说要讨论general eigenspace说很复杂的意思是 我把线性方程转成矩阵形式来看 Y_n = A*Y_(n-1), 其中A是矩阵 而A的特徵多项式就跟差分方程的特徵多项式一样 因此接下来要对A做Jordan form时就会需要讨论每个λ的情形 看来直接用原差分方程做会避开很多矩阵会遇到的麻烦耶! w大是说我上面回V大的那串吧 那我笔误了 我这篇都是讨论齐次的 我改一下 谢谢 嗨V大, 非常谢谢你~了解了! 听你的解释确实给了【原本我在乎A的Jordan form还要讨论很多】一个不用讨论的理由 A因为长相的关系, 导致其Jordan form很简单(每个eigenvalue只有一个Jordan block) 所以不管直接证线性独立, 或是真的找A的Jordan form, 都是简单的事 再次感谢~ 嗨a大, 你的一元高次跟二元一次分别是? 线性递回的 y_n = a_1*y_(n-1) + ... + a_N*y_(n-N) + x_n 就是你的一元高次吗? 如果是的话, 我是不知道如何解释"为什麽" 单纯就是令 Y_n:=[y_n y_(n-1)...y_(n-N)]^t, X_n = [x_n 0...0] 的话 原方程很容易证明等价於Y_n = A*Y_(n-1) + X_n 是很常听到一阶线性常系数ODE的离散型就是差分方程啦 不过细节上还是有差, 但是也是有相似的地方 比如这篇的差分方程写成矩阵: Y_n = A*Y_(n-1) + X_n 而一阶线性ODE: Y(t)' = A*Y(t) + X(t) 通解表达式都会跟求A的eigenvalue有关 不过ODE的A是任意矩阵, 差分方程的A是很多0的矩阵 所以差分方程的A解起来不像ODE那样要讨论一堆A的eigenvalue的重数问题 ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 12/05/2022 18:03:12