作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[分析] 實函數傅立葉轉換的位移問題
時間Thu Dec 1 01:28:53 2022
想請問一個"頻率位移"的問題, 已轉換成下列數學式
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令x(t):R→R為一實函數
F{x}(f):=∫_{t€R} x(t)*exp(-2πi*f*t) dt 為x(t)的傅立葉轉換
d€R為一實數
想求
實函數y(t):R→R
使得 |F{y}(f)| = |F{x}(f+d)| for all f€R
(傅立葉轉換的嚴謹性在這裡先忽略)
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以訊號處理的語言的話, 就是找到
把x的頻率位移d的訊號y
最初這個問題是: 求函數y(t):R→C 使得F{y}(f) = F{x}(f+d) for all f€R
而根據傅立葉轉換與摺積的交互性質, 可以得到
y(t) = x(t)*exp(-2πi*d*t)
但是無奈這樣的
y值會是複數域, 我不想要這件是發生
因此我才退而求其次, 不要求y的傅立葉轉換就剛好是x的傅立葉轉換的位移
只要求其絕對值相同就好, 因此才有最一開始的數學問題
如果有解的話再請板友解惑
如果無解的話也請提供一下證明的方向
謝謝幫忙~
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1F：推 wohtp : x real iff F{x}(f) = F{X}(-f)*12/01 05:29
2F：→ wohtp : 直接平移f不可能得到實函數。12/01 05:29
3F：→ wohtp : 喔你只要求絕對值。12/01 05:31
4F：推 wohtp : 但還是一樣啊，你平移以後|F|不一定還是偶函數，一12/01 05:37
5F：→ wohtp : 般來說湊不出實解12/01 05:38
這樣聽起來是很特殊的x才有可能有這性質, 一般的無法
我再寫寫看具體條件好了, 謝謝w大回答~
Update：已證出如果存在滿足條件的實函數y, 則x是零函數
6F：→ wohtp : Dirac delta function這個解你收不收？12/02 13:34
是用delta function造非零函數的例子嗎?
確實我上面update說存在這樣y則x是零函數 是基於x條件好到L^1
就能用Riemann-LebesgueLemma證出x是零函數
w大的意思是用distribution來看的話, 存在符合敘述的例子囉?
7F：→ wohtp : 不不，我說Dirac delta是你的唯一解 12/02 16:39
8F：→ wohtp : 如果你肯考慮這種不是函數的函數啦 12/02 16:45
9F：→ wohtp : 首先 |F{x}(f)| 必須是常數函數，不然平移以後湊不 12/02 16:49
10F：→ wohtp : 出實解 12/02 16:49
11F：→ wohtp : 所以 F{x}(f) = exp(i w(f)) 12/02 16:51
12F：→ wohtp : 這鬼東西反FT回去...呃好像不一定是Dirac delta 12/02 16:53
13F：→ wohtp : 反正是generalized function沒錯，看你怎麼湊收斂 12/02 16:55
14F：→ wohtp : 取 w 為零的話就是Dirac delta 12/02 16:56
了解~確實非函數的函數才有機會
因為我證明的過程利用到(1) Riemann Lebesgue Lemma
以及(2) 有兩個不同對稱點的函數必為週期函數
而我對廣義函數跟分布理論沒有涉獵, 不過光是δ的(1)就不成立了
(或許廣義函數有其相應的R-L Lemma)
謝謝w大~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 12/02/2022 21:03:29