作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 实函数傅立叶转换的位移问题
时间Thu Dec 1 01:28:53 2022
想请问一个"频率位移"的问题, 已转换成下列数学式
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令x(t):R→R为一实函数
F{x}(f):=∫_{t€R} x(t)*exp(-2πi*f*t) dt 为x(t)的傅立叶转换
d€R为一实数
想求
实函数y(t):R→R
使得 |F{y}(f)| = |F{x}(f+d)| for all f€R
(傅立叶转换的严谨性在这里先忽略)
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以讯号处理的语言的话, 就是找到
把x的频率位移d的讯号y
最初这个问题是: 求函数y(t):R→C 使得F{y}(f) = F{x}(f+d) for all f€R
而根据傅立叶转换与摺积的交互性质, 可以得到
y(t) = x(t)*exp(-2πi*d*t)
但是无奈这样的
y值会是复数域, 我不想要这件是发生
因此我才退而求其次, 不要求y的傅立叶转换就刚好是x的傅立叶转换的位移
只要求其绝对值相同就好, 因此才有最一开始的数学问题
如果有解的话再请板友解惑
如果无解的话也请提供一下证明的方向
谢谢帮忙~
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1F：推 wohtp : x real iff F{x}(f) = F{X}(-f)*12/01 05:29
2F：→ wohtp : 直接平移f不可能得到实函数。12/01 05:29
3F：→ wohtp : 喔你只要求绝对值。12/01 05:31
4F：推 wohtp : 但还是一样啊，你平移以後|F|不一定还是偶函数，一12/01 05:37
5F：→ wohtp : 般来说凑不出实解12/01 05:38
这样听起来是很特殊的x才有可能有这性质, 一般的无法
我再写写看具体条件好了, 谢谢w大回答~
Update：已证出如果存在满足条件的实函数y, 则x是零函数
6F：→ wohtp : Dirac delta function这个解你收不收？12/02 13:34
是用delta function造非零函数的例子吗?
确实我上面update说存在这样y则x是零函数 是基於x条件好到L^1
就能用Riemann-LebesgueLemma证出x是零函数
w大的意思是用distribution来看的话, 存在符合叙述的例子罗?
7F：→ wohtp : 不不，我说Dirac delta是你的唯一解 12/02 16:39
8F：→ wohtp : 如果你肯考虑这种不是函数的函数啦 12/02 16:45
9F：→ wohtp : 首先 |F{x}(f)| 必须是常数函数，不然平移以後凑不 12/02 16:49
10F：→ wohtp : 出实解 12/02 16:49
11F：→ wohtp : 所以 F{x}(f) = exp(i w(f)) 12/02 16:51
12F：→ wohtp : 这鬼东西反FT回去...呃好像不一定是Dirac delta 12/02 16:53
13F：→ wohtp : 反正是generalized function没错，看你怎麽凑收敛 12/02 16:55
14F：→ wohtp : 取 w 为零的话就是Dirac delta 12/02 16:56
了解~确实非函数的函数才有机会
因为我证明的过程利用到(1) Riemann Lebesgue Lemma
以及(2) 有两个不同对称点的函数必为周期函数
而我对广义函数跟分布理论没有涉猎, 不过光是δ的(1)就不成立了
(或许广义函数有其相应的R-L Lemma)
谢谢w大~
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 12/02/2022 21:03:29