作者arrenwu (不是綿芽的錯)
看板Math
標題Re: [機統] 一個機率概念上的問題
時間Sat Nov 5 18:42:41 2022
※ 引述《cornerstone (cornerstone)》之銘言：
: 在看機率中關於隨機變數獨立的部分看到：
: 若隨機變數A和B獨立，他們的平方也會相互獨立
: 我突然很好奇為什麼能直接這樣說呢？
: 假設A為擲兩次骰子，出現6的次數。
: 這樣的話，A就可能是0, 1, 2，對應的機率是：
: P(A=0) = 25/36
: P(A=1) = 10/36
: P(A=2) = 1/36
: 假設B為丟兩次銅板，出現人頭的次數，
: 這樣B就可能是0, 1, 2
: P(B=0) = 1/4
: P(B=1) = 1/2
: P(B=2) = 1/4
: 直覺來看，A和B根本不相關，所以他們相互獨立，
: 從數學觀點也可以從條件機率的角度看，
: P(A=0)的機率和在P(B=0)的前提下，是一樣的
: P(A=0| B=0) = P(A=0)
: 但請問平方的話要怎麼想？
: A平方會變成: 0, 1, 4
: B平方也會變成: 0, 1, 4
: 但對應的機率要怎麼算呢？
: 雖然直覺也認同覺得既然A和B獨立，平方應該也自然就獨立，
: 可是很想了解要怎麼想才能從數學或是比較嚴謹的角度來理解：
: 為什麼隨機變數A和B獨立，A平方和B平方也會獨立？
獨立隨機變數
獨立變數 X,Y 對於任意兩集合 A,B，都成立
P( X in A Λ Y in B) = P( X in A ) P( Y in B)
你的問題其實是在問，如果 X,Y 獨立，我們要怎麼說明
對於任意兩函數f,g和任意兩事件 C,D 都會成立
P( f(X) in C Λ g(Y) in D) = P( f(X) in C ) P( g(Y) in D )？
[你的案例就是 f(x) = g(x) = x^2]
綠色那行獨立性質好懂、很直覺，
黃色那行則看起來也非常直覺，但直接說是對的好像怪怪的(?
這兩者之間，我們需要的就是一個小定理
定義 inv(f,C) 為集合 {x | f(x) in C }
f(X) in C <=> X in inv(f, C)
然後我們就可以改寫 P( f(X) in C Λ g(Y) in D)
P( f(X) in C Λ g(Y) in D) = P(X in inv(f,C) Λ Y in inv(g,D))
= P(X in inv(f,C)) P(Y in inv(g,D))
= P(f(X) in C) P(g(Y) in D)
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原出處：
https://twitter.com/Hairi_1617/status/1521780942221631489
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1F：推 cornerstone : 真的非常謝謝您這麼詳細的解釋..黃色部分的確有點難 11/06 02:05
2F：推 cornerstone : 這個概念是不是沒辦法用例子來想？因為背後竟然還有 11/06 02:37
3F：推 cornerstone : 定理，需要用到函數才能解釋隨機變數的平方也會獨立 11/06 02:39
4F：推 LPH66 : f(X) in C: 轉換後的 X 在 C 中 11/06 11:46
5F：→ LPH66 : X in inv(f, C): X 在經過 f 後會變成 C 的東西當中 11/06 11:46
6F：→ LPH66 : 用這樣的概念轉換把 f 從 in 左邊搬到右邊去 11/06 11:47
7F：→ LPH66 : 這樣就能套用原本已知的 X in ... 的結論 11/06 11:47
8F：推 cornerstone : 謝謝LPH66的 "翻譯"，真的太有幫助了！專業的數學有 11/07 20:01
9F：推 cornerstone : 有專業的寫法和符號，常看到就有點慌，但經過翻譯 11/07 20:04
10F：→ cornerstone : 和解釋，比較能了解！再次謝謝arrenwu和LPH66的幫忙 11/07 20:05