作者arrenwu (不是绵芽的错)
看板Math
标题Re: [机统] 一个机率概念上的问题
时间Sat Nov 5 18:42:41 2022
※ 引述《cornerstone (cornerstone)》之铭言：
: 在看机率中关於随机变数独立的部分看到：
: 若随机变数A和B独立，他们的平方也会相互独立
: 我突然很好奇为什麽能直接这样说呢？
: 假设A为掷两次骰子，出现6的次数。
: 这样的话，A就可能是0, 1, 2，对应的机率是：
: P(A=0) = 25/36
: P(A=1) = 10/36
: P(A=2) = 1/36
: 假设B为丢两次铜板，出现人头的次数，
: 这样B就可能是0, 1, 2
: P(B=0) = 1/4
: P(B=1) = 1/2
: P(B=2) = 1/4
: 直觉来看，A和B根本不相关，所以他们相互独立，
: 从数学观点也可以从条件机率的角度看，
: P(A=0)的机率和在P(B=0)的前提下，是一样的
: P(A=0| B=0) = P(A=0)
: 但请问平方的话要怎麽想？
: A平方会变成: 0, 1, 4
: B平方也会变成: 0, 1, 4
: 但对应的机率要怎麽算呢？
: 虽然直觉也认同觉得既然A和B独立，平方应该也自然就独立，
: 可是很想了解要怎麽想才能从数学或是比较严谨的角度来理解：
: 为什麽随机变数A和B独立，A平方和B平方也会独立？
独立随机变数
独立变数 X,Y 对於任意两集合 A,B，都成立
P( X in A Λ Y in B) = P( X in A ) P( Y in B)
你的问题其实是在问，如果 X,Y 独立，我们要怎麽说明
对於任意两函数f,g和任意两事件 C,D 都会成立
P( f(X) in C Λ g(Y) in D) = P( f(X) in C ) P( g(Y) in D )？
[你的案例就是 f(x) = g(x) = x^2]
绿色那行独立性质好懂、很直觉，
黄色那行则看起来也非常直觉，但直接说是对的好像怪怪的(?
这两者之间，我们需要的就是一个小定理
定义 inv(f,C) 为集合 {x | f(x) in C }
f(X) in C <=> X in inv(f, C)
然後我们就可以改写 P( f(X) in C Λ g(Y) in D)
P( f(X) in C Λ g(Y) in D) = P(X in inv(f,C) Λ Y in inv(g,D))
= P(X in inv(f,C)) P(Y in inv(g,D))
= P(f(X) in C) P(g(Y) in D)
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原出处：
https://twitter.com/Hairi_1617/status/1521780942221631489
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 98.45.195.96 (美国)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1667644963.A.A9B.html
1F：推 cornerstone : 真的非常谢谢您这麽详细的解释..黄色部分的确有点难 11/06 02:05
2F：推 cornerstone : 这个概念是不是没办法用例子来想？因为背後竟然还有 11/06 02:37
3F：推 cornerstone : 定理，需要用到函数才能解释随机变数的平方也会独立 11/06 02:39
4F：推 LPH66 : f(X) in C: 转换後的 X 在 C 中 11/06 11:46
5F：→ LPH66 : X in inv(f, C): X 在经过 f 後会变成 C 的东西当中 11/06 11:46
6F：→ LPH66 : 用这样的概念转换把 f 从 in 左边搬到右边去 11/06 11:47
7F：→ LPH66 : 这样就能套用原本已知的 X in ... 的结论 11/06 11:47
8F：推 cornerstone : 谢谢LPH66的 "翻译"，真的太有帮助了！专业的数学有 11/07 20:01
9F：推 cornerstone : 有专业的写法和符号，常看到就有点慌，但经过翻译 11/07 20:04
10F：→ cornerstone : 和解释，比较能了解！再次谢谢arrenwu和LPH66的帮忙 11/07 20:05