EＥ作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [中學]一題根號求整數範圍
時間Sat Oct 8 07:38:03 2022
※ 引述《mathYU (莫忘初衷)》之銘言：
: https://i.imgur.com/mq0Ou1N.jpg
:
設 n 是正整數，則 √(n^2+1)+...+√(n^2+2n) = n(2n+1) + 純小數
證：
將原式表為：（2n 項分兩半，前第 k 項與倒數第 k 項配對)
√(n^2+1)+...+√(n^2+2n) = Σ_{k=1~n}{√(n^2+k) + √[(n+1)^2-k]}
√(n^2+k) = n + k/[√(n^2+k)+n]
√(n^2+k) + √[(n+1)^2-k] - (2n+1)
= k/[√(n^2+k)+n] - k/{√[(n+1)^2-k]+n+1}
= k{√[(n+1)^2-k] +1 -√(n^2+k)}/（[√(n^2+k)+n]{√[(n+1)^2-k]+n+1}）
此式 k=1~n, 分子之 {} 內介於 1~2, 分母介於 4n^2~4(n+1)^2 不含端點。
總的來說，其值低於 k/(2n^2).
故 √(n^2+1)+...+√(n^2+2n) = n(2n+1)+a, 其中 a 為正且低於 (n+1)/(2n).
例：
n = 1, √2 + √3 = 3 + 小數
n = 2, √5 + ... + √8 = 10 + ...
n = 3, √10 + ... + √15 = 21 + ...
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.223.205.48 (臺灣)
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※ 編輯: yhliu (61.223.205.48 臺灣), 10/08/2022 07:48:09
※ 編輯: yhliu (61.223.205.48 臺灣), 10/08/2022 07:51:57
1F：→ musicbox810 : a 為正且低於 (n+1)/(4n)才對？ 10/08 11:04
→ yhliu : 樓上是對的.
※ 編輯: yhliu (61.223.205.48 臺灣), 10/09/2022 08:01:57