EＥ作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [中学]一题根号求整数范围
时间Sat Oct 8 07:38:03 2022
※ 引述《mathYU (莫忘初衷)》之铭言：
: https://i.imgur.com/mq0Ou1N.jpg
:
设 n 是正整数，则 √(n^2+1)+...+√(n^2+2n) = n(2n+1) + 纯小数
证：
将原式表为：（2n 项分两半，前第 k 项与倒数第 k 项配对)
√(n^2+1)+...+√(n^2+2n) = Σ_{k=1~n}{√(n^2+k) + √[(n+1)^2-k]}
√(n^2+k) = n + k/[√(n^2+k)+n]
√(n^2+k) + √[(n+1)^2-k] - (2n+1)
= k/[√(n^2+k)+n] - k/{√[(n+1)^2-k]+n+1}
= k{√[(n+1)^2-k] +1 -√(n^2+k)}/（[√(n^2+k)+n]{√[(n+1)^2-k]+n+1}）
此式 k=1~n, 分子之 {} 内介於 1~2, 分母介於 4n^2~4(n+1)^2 不含端点。
总的来说，其值低於 k/(2n^2).
故 √(n^2+1)+...+√(n^2+2n) = n(2n+1)+a, 其中 a 为正且低於 (n+1)/(2n).
例：
n = 1, √2 + √3 = 3 + 小数
n = 2, √5 + ... + √8 = 10 + ...
n = 3, √10 + ... + √15 = 21 + ...
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 61.223.205.48 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1665185886.A.085.html
※ 编辑: yhliu (61.223.205.48 台湾), 10/08/2022 07:48:09
※ 编辑: yhliu (61.223.205.48 台湾), 10/08/2022 07:51:57
1F：→ musicbox810 : a 为正且低於 (n+1)/(4n)才对？ 10/08 11:04
→ yhliu : 楼上是对的.
※ 编辑: yhliu (61.223.205.48 台湾), 10/09/2022 08:01:57