【問題一】 令V:={x_n:Z→F}, Z是整數, F是實數或是複數, 即V是所有定義在整數上的實/複數列 W:={x€V│x有緊緻支撐}, 即W是收集V中所有有緊緻支撐的數列 可立得: V跟W都是向量空間 請證明或反證: 存在子空間S使得 V = W⊕S (能給出S的具體長相最好, 我試到最後用quotient space V/W 的class中選取元素收集成S, 但是發現S並非是子空間, 失敗...) 【問題二】 採用同樣符號V,W, 定義D_d:V→V 為 D_d({x_n}) = {x_(n-d)}, 大括號代表數列的意思 定義f:V→V具有時間不變性為:= f。D_d(x) = D_d。f(x), for any x€V and d€Z 定義T:V→V是線性非時變系統(LTI)為:= T 是線性變換並且具有時間不變性 可立得: 若T:V→V是LTI, 則存在唯一的h€V使得 T(x) = h＊x for any x€W (傳統證明沒特別在乎定義的話, 會說T(x) = h＊x for any x€V 但是這是錯的, 因為有些x會不well-defined) 請證明或給反例: 若 T:V→V是LTI且T(x) = 0 for any x€W 則 T(x) = 0 for any x€V --------------------------------- 再請板友幫忙這兩個問題了, 謝謝! <Update> Lim大證明: 任給向量空間V跟子空間W, V/W為quotient space 因為V/W也是向量空間, 所以依據選擇公設存在基底稱作B 再依據選擇公設存在選擇函數f:B→V使得 f(b)€b for all b€B 接著定義 S:=span{f(b)│b€B} 即為所求 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1664705118.A.DC1.html ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/02/2022 18:11:58 欸!!Lim大, 如果對於任何向量空間V, 任給子空間W, 照你的造法必存在子間S 使得 V = W⊕S 的話, 那第二個問題就快速地得到反例了: 隨便給一個沒有緊緻支撐的數列h 造 T(x):= h＊x_w + x_s, where x = x_w + x_s, x_w€W, x_s€S 則容易檢驗T是LTI 另外針對你的第三句話, 我後續的需求是不能對V假設Norm space, Hilbert space, l^p 原因的話有點複雜, 跟我之前跟板友們討論一堆"雙向遞迴關係式"有關 簡單說就是我想要避開Z轉換然後用純粹的V跟嚴謹的線代性質去找出所有的解 嗨V大, 不唯一嗎!? 若T滿足上原條件, h只能是T(δ)不是嗎? 還是這個問題沒錯唷! 後續我就是要用純粹的V跟T去建構跟解釋: (1) 為什麼特解可以"去蕪存菁"寫成h＊x (之前提說可以用垂直去定義"去蕪", 但是這內積定義牽扯到無窮乘加 也就是說不可能光用這個定義就讓<V,F>是內積空間, 會有很多不well-defined 如果真要用, 就要限縮V的範圍, 比如討論<W,F>, 這是我不樂見的) (2) 線代給出的結果跟工程上Z轉換給出的結果怎麼對應 (之前V大說這些h各自對應一些"邊界條件") 而上述問題在 Ax = b 我已經得到很好的結果, 並且不用內積: 對於任何b€R(A), 任給一個f:R(A)→F^n with f(x)€{x€F^n│Ax=b} 我們都有 {x€F^n│Ax=b} = N(A) + f(b), 其中f = A^-1 on R(f) 而且更有 F^n = N(A)⊕R(f), 即直和就解釋了R(f)不參雜N(A) 也就是說, 任給一個特解的選擇函數f, f可以證得是線性的 而且只要固定R(f), 那這個函數就存在唯一 我現在的後續就是把上面這套移到{y€V│T(y) = x}, 其中T(y):=a＊y, 其中 a_n:= 1 , n=0 a_n, n=1~N 0 , else 但是變成要處理很多無窮維的問題以及反函數不一定有time-invariant 所以要特別小心跟證明很多細節 我預期想得到 {y€V│T(y)=x} = N(T) + f(x) 會有 f(x) = h＊x for all x€W ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/02/2022 21:11:51