【问题一】 令V:={x_n:Z→F}, Z是整数, F是实数或是复数, 即V是所有定义在整数上的实/复数列 W:={x€V│x有紧致支撑}, 即W是收集V中所有有紧致支撑的数列 可立得: V跟W都是向量空间 请证明或反证: 存在子空间S使得 V = W⊕S (能给出S的具体长相最好, 我试到最後用quotient space V/W 的class中选取元素收集成S, 但是发现S并非是子空间, 失败...) 【问题二】 采用同样符号V,W, 定义D_d:V→V 为 D_d({x_n}) = {x_(n-d)}, 大括号代表数列的意思 定义f:V→V具有时间不变性为:= f。D_d(x) = D_d。f(x), for any x€V and d€Z 定义T:V→V是线性非时变系统(LTI)为:= T 是线性变换并且具有时间不变性 可立得: 若T:V→V是LTI, 则存在唯一的h€V使得 T(x) = h＊x for any x€W (传统证明没特别在乎定义的话, 会说T(x) = h＊x for any x€V 但是这是错的, 因为有些x会不well-defined) 请证明或给反例: 若 T:V→V是LTI且T(x) = 0 for any x€W 则 T(x) = 0 for any x€V --------------------------------- 再请板友帮忙这两个问题了, 谢谢! <Update> Lim大证明: 任给向量空间V跟子空间W, V/W为quotient space 因为V/W也是向量空间, 所以依据选择公设存在基底称作B 再依据选择公设存在选择函数f:B→V使得 f(b)€b for all b€B 接着定义 S:=span{f(b)│b€B} 即为所求 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1664705118.A.DC1.html ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/02/2022 18:11:58 欸!!Lim大, 如果对於任何向量空间V, 任给子空间W, 照你的造法必存在子间S 使得 V = W⊕S 的话, 那第二个问题就快速地得到反例了: 随便给一个没有紧致支撑的数列h 造 T(x):= h＊x_w + x_s, where x = x_w + x_s, x_w€W, x_s€S 则容易检验T是LTI 另外针对你的第三句话, 我後续的需求是不能对V假设Norm space, Hilbert space, l^p 原因的话有点复杂, 跟我之前跟板友们讨论一堆"双向递回关系式"有关 简单说就是我想要避开Z转换然後用纯粹的V跟严谨的线代性质去找出所有的解 嗨V大, 不唯一吗!? 若T满足上原条件, h只能是T(δ)不是吗? 还是这个问题没错唷! 後续我就是要用纯粹的V跟T去建构跟解释: (1) 为什麽特解可以"去芜存菁"写成h＊x (之前提说可以用垂直去定义"去芜", 但是这内积定义牵扯到无穷乘加 也就是说不可能光用这个定义就让<V,F>是内积空间, 会有很多不well-defined 如果真要用, 就要限缩V的范围, 比如讨论<W,F>, 这是我不乐见的) (2) 线代给出的结果跟工程上Z转换给出的结果怎麽对应 (之前V大说这些h各自对应一些"边界条件") 而上述问题在 Ax = b 我已经得到很好的结果, 并且不用内积: 对於任何b€R(A), 任给一个f:R(A)→F^n with f(x)€{x€F^n│Ax=b} 我们都有 {x€F^n│Ax=b} = N(A) + f(b), 其中f = A^-1 on R(f) 而且更有 F^n = N(A)⊕R(f), 即直和就解释了R(f)不参杂N(A) 也就是说, 任给一个特解的选择函数f, f可以证得是线性的 而且只要固定R(f), 那这个函数就存在唯一 我现在的後续就是把上面这套移到{y€V│T(y) = x}, 其中T(y):=a＊y, 其中 a_n:= 1 , n=0 a_n, n=1~N 0 , else 但是变成要处理很多无穷维的问题以及反函数不一定有time-invariant 所以要特别小心跟证明很多细节 我预期想得到 {y€V│T(y)=x} = N(T) + f(x) 会有 f(x) = h＊x for all x€W ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/02/2022 21:11:51