作者RicciCurvatu (黎奇曲率5566)
看板Math
標題[線代] 矩陣特徵值
時間Fri Sep 16 15:45:40 2022
一個3×3矩陣A, entries 取值在[0,1]
各行3數相加都等於1 （stochastic matrix）
若對角線都是各列最大值(嚴格大於
試證此矩陣特徵值皆為非零正數
另外 對於所有非零向量v 皆滿足v^ T A v ＞0
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A是對稱還蠻好證 非對稱的情況沒想到什麼好的證法 請教一下板上大神幫忙
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1F：推 arrenwu : 你提到這是個stochastic matrix，domain 有對應的 09/17 00:27
2F：→ arrenwu : 限制嗎？ 09/17 00:27
3F：→ RicciCurvatu: 有欸 v=(v1,v2,v3） 最後的argument 我只考慮v1+v2+ 09/17 04:31
4F：→ RicciCurvatu: v3=0 09/17 04:31
5F：→ RicciCurvatu: 第一個argument 我先證了trace 跟det都大於零 因為s 09/17 04:34
6F：→ RicciCurvatu: tochastic matrix 有一個trivial eigenvalue 1所以 09/17 04:34
7F：→ RicciCurvatu: 特徵值都大於零 第二個比較難 要估計特徵向量夾角 09/17 04:35
8F：→ RicciCurvatu: 沒什麼頭緒 09/17 04:35
9F：推 arrenwu : 確認一下，你的意思是 v 的限制只有在 R^3? 09/17 05:16
10F：→ RicciCurvatu: 是的 09/17 06:37
11F：推 arrenwu : 你這個題目有來源嗎？ 09/17 08:14
12F：→ arrenwu : 比如是來自什麼其他問題之類的？ 09/17 08:14
13F：推 maoc : Check “Gershgorin discs” 09/17 09:26
14F：→ RicciCurvatu: 來源是我自己 處理特徵值問題發現的 四維以上有反例 09/17 11:34
15F：→ RicciCurvatu: 應該還是要從三維的特性考慮 09/17 11:34
16F：推 walkwall : 那有沒有可能三維也有反例? 09/17 11:38
17F：推 Vulpix : 我證不出判別式恆正。 09/17 15:41
18F：推 Vulpix : 矩陣三行依序為.5,.25,.25、.25,.375,.375、.375,. 09/17 17:14
19F：→ Vulpix : 125,.5 09/17 17:14
20F：→ Vulpix : 這樣的eigenvalue會有兩個虛的。 09/17 17:15
21F：→ RicciCurvatu: v 大 條件是行相加等於一不是列相加喔 列是該行最大 09/18 02:11
22F：→ RicciCurvatu: 是對角線沒錯 09/18 02:11
23F：推 Vulpix : 你可能看錯我寫的了，但沒關係，轉置就好。 09/18 18:03
24F：→ Vulpix : 或者 0.9I+0.1P，其中 P 是輪換矩陣，本徵值也會有 09/18 18:06
25F：→ Vulpix : 虛數。 09/18 18:06
26F：推 Vulpix : 或者0.7I+0.2P+0.1P^2。 09/19 00:41