作者RicciCurvatu (黎奇曲率5566)
看板Math
标题[线代] 矩阵特徵值
时间Fri Sep 16 15:45:40 2022
一个3×3矩阵A, entries 取值在[0,1]
各行3数相加都等於1 （stochastic matrix）
若对角线都是各列最大值(严格大於
试证此矩阵特徵值皆为非零正数
另外 对於所有非零向量v 皆满足v^ T A v ＞0
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A是对称还蛮好证 非对称的情况没想到什麽好的证法 请教一下板上大神帮忙
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1F：推 arrenwu : 你提到这是个stochastic matrix，domain 有对应的 09/17 00:27
2F：→ arrenwu : 限制吗？ 09/17 00:27
3F：→ RicciCurvatu: 有欸 v=(v1,v2,v3） 最後的argument 我只考虑v1+v2+ 09/17 04:31
4F：→ RicciCurvatu: v3=0 09/17 04:31
5F：→ RicciCurvatu: 第一个argument 我先证了trace 跟det都大於零 因为s 09/17 04:34
6F：→ RicciCurvatu: tochastic matrix 有一个trivial eigenvalue 1所以 09/17 04:34
7F：→ RicciCurvatu: 特徵值都大於零 第二个比较难 要估计特徵向量夹角 09/17 04:35
8F：→ RicciCurvatu: 没什麽头绪 09/17 04:35
9F：推 arrenwu : 确认一下，你的意思是 v 的限制只有在 R^3? 09/17 05:16
10F：→ RicciCurvatu: 是的 09/17 06:37
11F：推 arrenwu : 你这个题目有来源吗？ 09/17 08:14
12F：→ arrenwu : 比如是来自什麽其他问题之类的？ 09/17 08:14
13F：推 maoc : Check “Gershgorin discs” 09/17 09:26
14F：→ RicciCurvatu: 来源是我自己 处理特徵值问题发现的 四维以上有反例 09/17 11:34
15F：→ RicciCurvatu: 应该还是要从三维的特性考虑 09/17 11:34
16F：推 walkwall : 那有没有可能三维也有反例? 09/17 11:38
17F：推 Vulpix : 我证不出判别式恒正。 09/17 15:41
18F：推 Vulpix : 矩阵三行依序为.5,.25,.25、.25,.375,.375、.375,. 09/17 17:14
19F：→ Vulpix : 125,.5 09/17 17:14
20F：→ Vulpix : 这样的eigenvalue会有两个虚的。 09/17 17:15
21F：→ RicciCurvatu: v 大 条件是行相加等於一不是列相加喔 列是该行最大 09/18 02:11
22F：→ RicciCurvatu: 是对角线没错 09/18 02:11
23F：推 Vulpix : 你可能看错我写的了，但没关系，转置就好。 09/18 18:03
24F：→ Vulpix : 或者 0.9I+0.1P，其中 P 是轮换矩阵，本徵值也会有 09/18 18:06
25F：→ Vulpix : 虚数。 09/18 18:06
26F：推 Vulpix : 或者0.7I+0.2P+0.1P^2。 09/19 00:41