※ 引述《luppy1018 (盧屁)》之銘言： : Q:已知英文指考克漏字大題，單字庫有12個選項，總共10題填空，答案不重複，則隨機從 : 單字庫挑10個單字亂填進10格填空，全部寫錯的機率是多少？ : 推 LPH66 : 給兩個地雷他們的位置，然後考慮他們有沒有選到 09/14 07:38 : → LPH66 : 各自的位置，選法數是 (D12+2*D11+D10)/2 09/14 07:38 : → LPH66 : (Dn 是 n 物錯排數) 機率就它除以 C(12,10) 09/14 07:39 : → LPH66 : 寫成 (D12+2*D11+D10)/12! 再套估計變成 09/14 07:42 : → LPH66 : (1/1+2/12+1/132)(1/e) ~ 43.2% 09/14 07:42 : 推 LPH66 : 啊，上三樓寫錯了，除以 P(12,10) 才對 09/14 07:45 : → LPH66 : 算的一直都是排列不能除以組合，後面 43.2% 是對的 09/14 07:46 : 謝謝L大，不過不太懂是怎麼推得(D12+2*D11+D10)/2 ，可以解釋一下他的實質意義嗎 給地雷選項他們的位置之後, 現在有 12 個空格, 每個選項都有自己的位置 但我們只要前 10 格都答錯就好, 後兩格答對答錯都行 那麼這兩格的答題情形一共有: * 兩格都答錯: 這樣就是普通的 12 格錯排, 共 D12 種 * 一格對一格錯: 哪一格對有 C(2,1) = 2 種 這狀況裡有 11 格是答錯的, 選法數是 D11 種, 所以共 2*D11 選法 * 兩格都對: 這兩格都被地雷填了, 剩下的 10 格是最一開始的 D10 種錯排法 總計 D12 + 2*D11 + D10 這是有 12 格的排列數, 原題只看 10 格, 後兩格不管, 因此要再除以 2! = 2 (或者這樣說: 每兩個 12 格的排列都對應原題一個 10 格的排列, 差在後兩個誰在哪) 因此原題的選法數即是 (D12 + 2*D11 + D10)/2 種 (要推廣到其他數量的話這式子可以寫成 (C(2,0)*D(12-0) + C(2,1)*D(12-1) + C(2,2)*D(12-2)) / 2! 但真推廣下去會得到廣義超幾何函數 1F1, 那就是另一個領域了, 這裡就表過不提) ==== 順帶也解釋一下後半的機率好了 我推文說的是 (D12 + 2*D11 + D10)/2 除以 P(12,10) 就是單純看 10 格的狀況去除: 分子是剛剛算的選法數 分母是 12 選項依序選 10 個填入空格的選法數 但其實看 12 格的狀況也是可以的 這就會變成 (D12 + 2*D11 + D10) 除以 12!, 兩者是一樣的 (前者分子分母各有一個 2 消掉了: P(12,10) = 12!/(12-10)! = 12!/2!) 那錯排機率的近似是 Dn/n! ~ 1/e (事實上對 n >= 1 都有 Dn 的值等於 n!/e 四捨五入到整數, 所以這近似頗準) 把上面的式子展開再應用近似就得到 (D12 + 2*D11 + D10) / 12! = D12/12! + 2*D11/12! + D10/12! = (D12/12!) + 2*(D11/11!)/12 + (D10/10!)/(11*12) ~ (1/e) + (2/12)*(1/e) + (1/132)*(1/e) = (1 + 2/12 + 1/132)(1/e) = (155/132)*(1/e) ~ 43.2% -- 'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.' 'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled. 'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said Harry. 'I've been trying to tell you that for years.' -- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308 --

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