※ 引述《luppy1018 (卢屁)》之铭言： : Q:已知英文指考克漏字大题，单字库有12个选项，总共10题填空，答案不重复，则随机从 : 单字库挑10个单字乱填进10格填空，全部写错的机率是多少？ : 推 LPH66 : 给两个地雷他们的位置，然後考虑他们有没有选到 09/14 07:38 : → LPH66 : 各自的位置，选法数是 (D12+2*D11+D10)/2 09/14 07:38 : → LPH66 : (Dn 是 n 物错排数) 机率就它除以 C(12,10) 09/14 07:39 : → LPH66 : 写成 (D12+2*D11+D10)/12! 再套估计变成 09/14 07:42 : → LPH66 : (1/1+2/12+1/132)(1/e) ~ 43.2% 09/14 07:42 : 推 LPH66 : 啊，上三楼写错了，除以 P(12,10) 才对 09/14 07:45 : → LPH66 : 算的一直都是排列不能除以组合，後面 43.2% 是对的 09/14 07:46 : 谢谢L大，不过不太懂是怎麽推得(D12+2*D11+D10)/2 ，可以解释一下他的实质意义吗 给地雷选项他们的位置之後, 现在有 12 个空格, 每个选项都有自己的位置 但我们只要前 10 格都答错就好, 後两格答对答错都行 那麽这两格的答题情形一共有: * 两格都答错: 这样就是普通的 12 格错排, 共 D12 种 * 一格对一格错: 哪一格对有 C(2,1) = 2 种 这状况里有 11 格是答错的, 选法数是 D11 种, 所以共 2*D11 选法 * 两格都对: 这两格都被地雷填了, 剩下的 10 格是最一开始的 D10 种错排法 总计 D12 + 2*D11 + D10 这是有 12 格的排列数, 原题只看 10 格, 後两格不管, 因此要再除以 2! = 2 (或者这样说: 每两个 12 格的排列都对应原题一个 10 格的排列, 差在後两个谁在哪) 因此原题的选法数即是 (D12 + 2*D11 + D10)/2 种 (要推广到其他数量的话这式子可以写成 (C(2,0)*D(12-0) + C(2,1)*D(12-1) + C(2,2)*D(12-2)) / 2! 但真推广下去会得到广义超几何函数 1F1, 那就是另一个领域了, 这里就表过不提) ==== 顺带也解释一下後半的机率好了 我推文说的是 (D12 + 2*D11 + D10)/2 除以 P(12,10) 就是单纯看 10 格的状况去除: 分子是刚刚算的选法数 分母是 12 选项依序选 10 个填入空格的选法数 但其实看 12 格的状况也是可以的 这就会变成 (D12 + 2*D11 + D10) 除以 12!, 两者是一样的 (前者分子分母各有一个 2 消掉了: P(12,10) = 12!/(12-10)! = 12!/2!) 那错排机率的近似是 Dn/n! ~ 1/e (事实上对 n >= 1 都有 Dn 的值等於 n!/e 四舍五入到整数, 所以这近似颇准) 把上面的式子展开再应用近似就得到 (D12 + 2*D11 + D10) / 12! = D12/12! + 2*D11/12! + D10/12! = (D12/12!) + 2*(D11/11!)/12 + (D10/10!)/(11*12) ~ (1/e) + (2/12)*(1/e) + (1/132)*(1/e) = (1 + 2/12 + 1/132)(1/e) = (155/132)*(1/e) ~ 43.2% -- 'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.' 'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled. 'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said Harry. 'I've been trying to tell you that for years.' -- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 123.194.181.180 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1663171567.A.2E6.html