作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
標題[線代] Schur's讓T上三角的基底也會讓T*對角化嗎
時間Tue Sep 13 00:34:03 2022
如題，課本的證明
https://imgur.com/qcfxQHX 有用到特徵多項式可完全分解的空間內
一定能找到一個 T* 的特徵向量 z，令 W := span({z}) 則 W⊥ 的特徵多項式也會完全
分解，我一樣可以繼續找到 T* 的特徵向量 z2 而且它和 z 垂直，依此類推，最終就能
找到 T* 的 eigenbasis {z, z2, ..., zn}。而這個 basis 恰好也是定理敘述會讓 T 上
三角的基底。只是我後來又發現，如果此基底是 T* 的 eigenbasis, 那麼根據矩陣元的
算法由內積而來，也會順便推得 T 是對角線矩陣造成跟定理矛盾。
想知道我對找到 T* 的 eigenbasis 的 claim 是否有誤，癥結點是在哪呢？
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1F：推 bluepal : 如果用矩陣看複數空間矩陣A和A*的特徵值不一定相等 09/13 01:31
2F：→ bluepal : 如果你是用A和A^T去推得對角,應該是不對在這? 09/13 01:33
3F：→ bluepal : 若用限定在實數特徵值,特徵多項式就沒有splits了 09/13 01:34
我只是想知道我的思考方式到底錯在哪而已，因為 W⊥ 內的任意向量都和 W 內的任意
向量垂直，而且過程中都是找 T* 的 eigenvector，根據歸納法，最後就會得到 T* 的
eigenbasis 了。
※ 編輯: alan23273850 (115.43.121.35 臺灣), 09/13/2022 09:55:20
4F：→ alan23273850: 欸乾 我好像找到我的盲點了，數歸法一開始n=1的時候 09/13 10:28
5F：→ alan23273850: 根本沒有限制那個基底是什麼，自然沒保證是 T* 的 09/13 10:30
6F：→ alan23273850: eigenvector, 那 n=1 的時候不成立，之後也就不成立 09/13 10:30
7F：→ alan23273850: 不確定是不是這樣。。。 09/13 10:36
簡言之，我的疑問：T 的特徵多項式 split ==> T* 可以正範對角化嗎？
※ 編輯: alan23273850 (115.43.121.35 臺灣), 09/13/2022 10:44:38
8F：→ alan23273850: 但是很明顯地 T 上三角 <==> T* 下三角，愈來愈怪了 09/13 10:51
9F：推 arrenwu : Counter Example: [[1,1],[0,1]] 09/13 10:53
10F：→ arrenwu : 這個矩陣的 characteristic polynomial 是 (x-1)^2 09/13 10:54
11F：→ alan23273850: 如果樓上的例子保證 T* 不可對角化的話，我等等就來 09/13 11:01
12F：→ alan23273850: 試試看課本的論證和我的認知到底差距在哪了！ 09/13 11:02
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13F：→ alan23273850: 我知道了，把樓上的例子限縮在 X 軸上和不限縮的 T* 09/19 00:01
14F：→ alan23273850: 其實就不同了，因為 T* 就是 T 的共軛轉置，當然會 09/19 00:02
15F：→ alan23273850: 跟 T 的定義域有關了。感謝 arrenwu 大大的範例！ 09/19 00:02
※ 編輯: alan23273850 (125.231.129.203 臺灣), 09/19/2022 00:03:24