作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题[线代] Schur's让T上三角的基底也会让T*对角化吗
时间Tue Sep 13 00:34:03 2022
如题，课本的证明
https://imgur.com/qcfxQHX 有用到特徵多项式可完全分解的空间内
一定能找到一个 T* 的特徵向量 z，令 W := span({z}) 则 W⊥ 的特徵多项式也会完全
分解，我一样可以继续找到 T* 的特徵向量 z2 而且它和 z 垂直，依此类推，最终就能
找到 T* 的 eigenbasis {z, z2, ..., zn}。而这个 basis 恰好也是定理叙述会让 T 上
三角的基底。只是我後来又发现，如果此基底是 T* 的 eigenbasis, 那麽根据矩阵元的
算法由内积而来，也会顺便推得 T 是对角线矩阵造成跟定理矛盾。
想知道我对找到 T* 的 eigenbasis 的 claim 是否有误，症结点是在哪呢？
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1F：推 bluepal : 如果用矩阵看复数空间矩阵A和A*的特徵值不一定相等 09/13 01:31
2F：→ bluepal : 如果你是用A和A^T去推得对角,应该是不对在这? 09/13 01:33
3F：→ bluepal : 若用限定在实数特徵值,特徵多项式就没有splits了 09/13 01:34
我只是想知道我的思考方式到底错在哪而已，因为 W⊥ 内的任意向量都和 W 内的任意
向量垂直，而且过程中都是找 T* 的 eigenvector，根据归纳法，最後就会得到 T* 的
eigenbasis 了。
※ 编辑: alan23273850 (115.43.121.35 台湾), 09/13/2022 09:55:20
4F：→ alan23273850: 欸乾 我好像找到我的盲点了，数归法一开始n=1的时候 09/13 10:28
5F：→ alan23273850: 根本没有限制那个基底是什麽，自然没保证是 T* 的 09/13 10:30
6F：→ alan23273850: eigenvector, 那 n=1 的时候不成立，之後也就不成立 09/13 10:30
7F：→ alan23273850: 不确定是不是这样。。。 09/13 10:36
简言之，我的疑问：T 的特徵多项式 split ==> T* 可以正范对角化吗？
※ 编辑: alan23273850 (115.43.121.35 台湾), 09/13/2022 10:44:38
8F：→ alan23273850: 但是很明显地 T 上三角 <==> T* 下三角，愈来愈怪了 09/13 10:51
9F：推 arrenwu : Counter Example: [[1,1],[0,1]] 09/13 10:53
10F：→ arrenwu : 这个矩阵的 characteristic polynomial 是 (x-1)^2 09/13 10:54
11F：→ alan23273850: 如果楼上的例子保证 T* 不可对角化的话，我等等就来 09/13 11:01
12F：→ alan23273850: 试试看课本的论证和我的认知到底差距在哪了！ 09/13 11:02
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13F：→ alan23273850: 我知道了，把楼上的例子限缩在 X 轴上和不限缩的 T* 09/19 00:01
14F：→ alan23273850: 其实就不同了，因为 T* 就是 T 的共轭转置，当然会 09/19 00:02
15F：→ alan23273850: 跟 T 的定义域有关了。感谢 arrenwu 大大的范例！ 09/19 00:02
※ 编辑: alan23273850 (125.231.129.203 台湾), 09/19/2022 00:03:24