※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 嗨r大, 最後問個實作與理論結合性的問題: : 考慮 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 這個差分方程 : 使用雙向Z轉換的話, 可以找到三個h_n使得y_n = (h＊x)_n, 分別是: : : h1_n = 0.8*(-1/2)^n*u_n + 1.2*2^n*u_n : h2_n = 0.8*(-1/2)^n*u_n - 1.2*2^n*u_(-n-1) : h3_n = -0.8*(-1/2)^n*u_(-n-1) - 1.2*2^n*u_(-n-1) : : 其中u_n := 1 , n>=0 : 0 , n<0 這三個對應的 H 剛好有著互斥的 ROC。 而彼此之間的差，會是 (-1/2)^n 和 2^n 的線性組合。 所以原方程的一般解應該是 A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n。 最後那項只是個特解，是我們希望要有某種性質的特解。 例如：當 n<0 時，y=0。 雖然解了三個 h 出來，但其實能用的 h 還有無限多個。 而這三個之所以特殊，就是因為他們各自對應一些邊界條件。 : : 接著有兩個實作上的問題: : (1) 單純考慮差分方程有無窮多組解(初始值決定) : 我怎麼知道要怎麼設初始值, 才是我要的對應到的h_n的y_n? : 例如取怎樣的x跟y的初始值則會有解y_n會等於(h1＊x)_n : 如果 x 項數有限(compactly supported)，那任何一個 h 都無所謂。 而如果 x 沒有 compact support 的話，就得看 X 的 ROC 了。 的確如推文中 r 大所言，要找有交集的去算。 但問題也在這裡，x_n = 1 這個 1 數列，他的 X 是處處不收斂的。 而這個數列好像也在你有興趣的範圍裡面（BI），所以總有打交道的機會。 : (2) 假設(1)的問題完美解決, 即針對我要的h我都可以找到我要的初始值 : 那選哪個h重要嗎? 因為這三個h的H(z)都一樣(只是不同ROC) : 所以頻率響應 H(exp(iw))也是一樣的(甚至相位都一樣), : 那我隨便選一個h來當filter不就相同效果? 畢竟這些 h 其實是這樣找出來的：脈衝δ(0,n)輸入的響應。 所以 h 自然與 x 無關。 而任何一個 x 都可以看成是 δ＊x。 所以 y_p 也自然就會是 h＊x，而一般的 y 就是跟 y_p 差個齊次解。 上述過程與微分方程中，藉由源項δ(x-x')來找出響應 G(x,x') 的方式相同。 所以在找 Green's function 中用到的方法、遇到的困難， 在這裡也都能看到離散的版本。 --

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