※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : 嗨r大, 最後问个实作与理论结合性的问题: : 考虑 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 这个差分方程 : 使用双向Z转换的话, 可以找到三个h_n使得y_n = (h＊x)_n, 分别是: : : h1_n = 0.8*(-1/2)^n*u_n + 1.2*2^n*u_n : h2_n = 0.8*(-1/2)^n*u_n - 1.2*2^n*u_(-n-1) : h3_n = -0.8*(-1/2)^n*u_(-n-1) - 1.2*2^n*u_(-n-1) : : 其中u_n := 1 , n>=0 : 0 , n<0 这三个对应的 H 刚好有着互斥的 ROC。 而彼此之间的差，会是 (-1/2)^n 和 2^n 的线性组合。 所以原方程的一般解应该是 A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n。 最後那项只是个特解，是我们希望要有某种性质的特解。 例如：当 n<0 时，y=0。 虽然解了三个 h 出来，但其实能用的 h 还有无限多个。 而这三个之所以特殊，就是因为他们各自对应一些边界条件。 : : 接着有两个实作上的问题: : (1) 单纯考虑差分方程有无穷多组解(初始值决定) : 我怎麽知道要怎麽设初始值, 才是我要的对应到的h_n的y_n? : 例如取怎样的x跟y的初始值则会有解y_n会等於(h1＊x)_n : 如果 x 项数有限(compactly supported)，那任何一个 h 都无所谓。 而如果 x 没有 compact support 的话，就得看 X 的 ROC 了。 的确如推文中 r 大所言，要找有交集的去算。 但问题也在这里，x_n = 1 这个 1 数列，他的 X 是处处不收敛的。 而这个数列好像也在你有兴趣的范围里面（BI），所以总有打交道的机会。 : (2) 假设(1)的问题完美解决, 即针对我要的h我都可以找到我要的初始值 : 那选哪个h重要吗? 因为这三个h的H(z)都一样(只是不同ROC) : 所以频率响应 H(exp(iw))也是一样的(甚至相位都一样), : 那我随便选一个h来当filter不就相同效果? 毕竟这些 h 其实是这样找出来的：脉冲δ(0,n)输入的响应。 所以 h 自然与 x 无关。 而任何一个 x 都可以看成是 δ＊x。 所以 y_p 也自然就会是 h＊x，而一般的 y 就是跟 y_p 差个齐次解。 上述过程与微分方程中，藉由源项δ(x-x')来找出响应 G(x,x') 的方式相同。 所以在找 Green's function 中用到的方法、遇到的困难， 在这里也都能看到离散的版本。 --

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