作者bluepal (我蓮蓬頭達人QK啦)
看板Math
標題Re: [分析] 差分係數與反Z轉換絕對和關係
時間Thu Sep 8 00:38:30 2022
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 想請問一下給定係數a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2, 其中a_0, a_2!= 0
: 定義H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2)
: 令分母的零點為p_0, p_1, 其中R:=max{|p_0|, |p_1|}
: 並假設 R < 1
: 則我們知道H(z)可以在{|z|>R}展開成H(z) = Σ_{n=0} h_n * z^(-n)
: 我想知道 Σ_{n=0} |h_n| 跟這些係數有什麼公式上的關係?
: P.S. (1) 如果分子跟分母的零點有相同, 那只會讓展開範圍更大而已
: (2) h_n = 0 for all n < 0是因為我取最外面的ROC, 因此是causal case
: (3) 假設R<1是為了讓 Σ_{n=0} |h_n| < ∞
: -----------------------------------------------------------
: 問題動機如下:(y_n := (h＊x)_n, ＊是摺積)
: 我們知道一個LTI系統是BIBO <=> Σ_{n€Z} |h_n| < ∞
: 而且當BIBO時, 若|x_n| <= M 則 |y_n| <= M*Σ_{n€Z} |h_n|
: 今天我用差分方程實作y_n時, 我想要控制y_n的範圍
: 因此我才想要拿到Σ_{n=0} |h_n|
: 另外google查過 "maximum output iir" 這類的關鍵字沒得到想要的結果
: 順帶一提, 我原本認為看 |H(exp(iw))| 的最高點即可
: 也就是說, 假設|H(exp(iw))|在[0,2π]有global maximum G at w_0€[0,2π]
: 我原本以為會有 " 若|x_n|<=M, 則|y_n|<= G*M "
: 因此只要把輸出除以G, 就能把輸出控制在一樣的M內
: 但是很容易有反例
: 還是說其實真的可以只看|H(exp(iw))| 的最高點即可, 只是係數要配好?
: ===========================================================================
: 謝謝幫忙~
想釐清一下問題是否是這樣:
已滿足BIBO stability condition的一邊(sufficient)
y_n := (h＊x)_n
(1) |x_n| <= M
(2) <h_n>1 :=Σ_{n€Z} |h_n| < ∞ (我用< >1表示1-norm不然很醜)
可證明|y_n| bounded by: |y_n|<= M乘<h_n>1
因為實用上雖然已知|y_n| bounded 但想控制y_n 需要<h_n>1的值
所以想至少拿到上界?
如果是這樣
H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2)
上下都是degree為2的 多項式
建議先相除 再改為partial fraction的形式:
所以可以整理成 H(z)=C_2 + C_0/(z-p_0) + C1/(z-p_1) *
p_0, p_1是你上面寫的poles
C_i是由你的係數決定的複數 i=0, 1, 2
三角不等式: |H(x)|< |C_2| + |C_0/(z-p_0)| + |C1/(z-p_1)|
(粗略想法而已後面直接展開了)
而且我們知道Lorentz展開有唯一性
可以討論形式 C/(z-p) z, C, p都是複數
你的case在poles外面展開且R<1 令 |p|<|z|, 1<|z| (選絕對值大於1的|z|)
C/(z-p)=(1/z)[C/(1-p/z)] ,因為|p/z|<1
=(C/z)(Σ_{n=0} h3_n * z^(-n)) , for some h3_n€C (這邊只是1/(1-r)展開)
=C(Σ_{n=1} h3_n * z^(-n))
其實 h3_n=p^(n-1)
式* 中第二第三項可以展開成上面形式
得到: H(x)= C_2
+ C_0(Σ_{n=1} h0_n * z^(-n)) + C_1(Σ_{n=1} h1_n * z^(-n))
for some C_0, C_1, h0_n, h1_n€C
其實 h0_n=(p_0)^(n-1)
h1_n=(p_1)^(n-1)
三角不等式:
|H(x)|< |C_2|
+ |C_0|Σ_{n=1}|h0_n|*|z^(-n)| + |C_1|Σ_{n=1} |h1_n|*|z^(-n)|
< |C_2| + |C_0|Σ_{n=1}|h0_n| + |C_1|Σ_{n=1} |h1_n| ,因為|z|>1
^^^^^^^^可以求和回去 ^^^^^^^^可以求和回去
: 令M0 令M1
: 唯一性: h_n=C0乘h0_n+C1乘h1_n
: h_0=C2
: 三角不等式(取|z|>1): <h_n>1<=|C_2| + |C0|乘M0 + |C1|乘M1
原本要控制<h_n>1 現在改成控制|C_2|, |C_1|, |C_0|, |p_0|, |p_1|
拿到一個很粗糙上界
不知道有沒有幫助?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.204.39.221 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1662568713.A.755.html
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/08/2022 00:46:34
1F：推 znmkhxrw : 謝謝h大回應, 我回覆如下: 09/08 17:27
2F：→ znmkhxrw : (1) 您對問題的重新敘述, 跟我的問題是100%吻合 09/08 17:27
3F：推 znmkhxrw : (2) 看後面的邏輯, 你是估計出某個M使得|H(z)|<=M? 09/08 17:31
4F：→ znmkhxrw : 其中z是某個滿足|z|>1的複數 09/08 17:32
5F：→ znmkhxrw : 如果是這樣的話, 我不懂下列(A)式為什麼能推得(B)式 09/08 17:33
6F：→ znmkhxrw : (A) |H(z)|<=M for some |z|>1 09/08 17:33
7F：→ znmkhxrw : (B) Σ_{n€整數} |h_n| < ∞ 09/08 17:34
8F：→ znmkhxrw : 因為絕對值的方向過不去 09/08 17:34
9F：推 Vulpix : h_n=h0_n+h1_n，代進1-norm，絕對值用三角不等式拆 09/08 18:05
10F：→ Vulpix : 開。然後會拿到兩個等比級數，加起來即可。 09/08 18:05
11F：→ bluepal : Sorry昨天後面都重複 複製貼上貼上漏了一段... 09/08 18:21
12F：→ bluepal : 對 用Lorent expansion的唯一性 09/08 18:22
13F：→ bluepal : 所以才會有一個唯一性流在上面沒動... 09/08 18:22
14F：→ bluepal : 重點在那邊發現可以根本求和回去 09/08 18:23
15F：→ bluepal : 如果要寫證明那段可以略去 直接寫V大說的 09/08 18:23
16F：→ bluepal : 只是我習慣把思路寫下來 09/08 18:24
17F：→ bluepal : 我改一下好了 09/08 18:24
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/08/2022 18:28:37
18F：推 znmkhxrw : 麻煩了, 我還是對不太上QQ 09/08 18:24
19F：→ bluepal : 綠色那段 我這次用M1 M2不然好長.. 09/08 18:29
20F：→ bluepal : 想法是用partial fraction分解把係數的責任丟到C2 09/08 18:33
21F：→ bluepal : C0 C1身上 09/08 18:33
22F：→ bluepal : 這樣分解有好處 跑出來的Lorentz 展開是poles的等比 09/08 18:33
23F：→ bluepal : 級數可以求和 09/08 18:33
24F：→ bluepal : 因為有唯一性 原本的 h_n 和後來的三等分其實一對一 09/08 18:34
25F：→ bluepal : h_n的1-norm 就能用後來那三分控制 09/08 18:35
26F：→ bluepal : 因為如果用你一開始係數太難做了所以才用分解著手 09/08 18:36
27F：→ bluepal : 不過因為是2次原本係數和C之間有公式解 09/08 18:36
28F：→ bluepal : 如果高次 有機會知道ROC可以直接帶R就好 09/08 18:44
29F：→ bluepal : 也不用理poles有哪些 09/08 18:44
30F：→ bluepal : 我最後的忘記乘C1,C0了...C2+C1乘M1+C0乘M0 09/08 18:53
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/08/2022 18:55:10
31F：→ bluepal : 順便改成M1 M2 09/08 18:55
32F：→ bluepal : M0 M1囧 09/08 18:55
33F：推 znmkhxrw : 我看懂idea了, 把h寫成h1+h2, 其中後兩者的1-norm即 09/09 05:39
34F：→ znmkhxrw : 是幾何級數即可! 另外我說不等式方向怪怪的是在b大 09/09 05:39
35F：→ znmkhxrw : 三角不等式那邊的敘述, 這樣h的1norm會帶有z項, 跟 09/09 05:39
36F：→ znmkhxrw : 所求的h的1norm仍有段距離, 因此照V大說的直接對h=h 09/09 05:39
37F：→ znmkhxrw : 1+h2取絕對值跟三角不等式後sum起來就結束了, 謝謝 09/09 05:39
38F：→ znmkhxrw : 兩位幫忙~ 09/09 05:39
39F：→ bluepal : 3個係數C也要考慮 如果你要控制上界 即使有R也要 09/09 19:09
40F：→ bluepal : 這裡只是把苦工從原本係數轉嫁到求C和求根而已 09/09 19:10
41F：→ bluepal : 求根是最難的在高次 不過如果直接有ROC 困難點在C 09/09 19:10
42F：→ bluepal : 我是覺得寧可把中間的想法寫出來對讀者比較友善 09/09 19:12
43F：→ bluepal : 所以中間很多多餘的式子 有時候沒經過中間過程 09/09 19:12
44F：→ bluepal : 只會讓別人覺得你到底在幹嘛 之後又要再講一遍 09/09 19:13
45F：→ bluepal : 不然中間那個(粗略想法.. )和一半出現的L展開唯一 09/09 19:13
46F：→ bluepal : 性也可以完全不用寫 09/09 19:14
47F：→ bluepal : 這個證明直接順順把式子寫完就出來了 09/09 19:14
48F：→ bluepal : 最簡潔證明就是(1)寫出分解後的展開(2)比較係數 09/09 19:15
49F：→ bluepal : (3)三角不等式 END 09/09 19:15
50F：→ bluepal : 然後多餘一點就是absolute convergence可以做 09/09 19:18
51F：→ bluepal : rearrangement不影響求和 09/09 19:18
52F：→ bluepal : 我承認寫想法也可以賺P幣(?) 09/09 19:27
53F：推 znmkhxrw : 理解你的意思 我是發問者所以就會下意識認為每句話 09/09 22:50
54F：→ znmkhxrw : 都是在推導或是證明我的需求 當看到沒那麼直接相關 09/09 22:50
55F：→ znmkhxrw : 卻好像又有關係的式子 我就會去猜對方是想表達什麼 09/09 22:50
56F：→ znmkhxrw : 又或是我誤會了什麼 或是對方在延伸什麼 因此b大你 09/09 22:50
57F：→ znmkhxrw : 的"寫成部分分式+展開幾何級數+係數唯一+對係數取三 09/09 22:50
58F：→ znmkhxrw : 角不等式後取級數", 這樣就是我認為的正解, 而不同 09/09 22:50
59F：→ znmkhxrw : 人對於上述的表達方式可能不太一樣, 所以就有討論 09/09 22:50
60F：→ znmkhxrw : 的空間, 謝謝! 09/09 22:50
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/10/2022 00:46:42
61F：→ bluepal : 讓我賺一點P幣也好(?) 09/10 00:46