作者bluepal (我莲蓬头达人QK啦)
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标题Re: [分析] 差分系数与反Z转换绝对和关系
时间Thu Sep 8 00:38:30 2022
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言：
: 想请问一下给定系数a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2, 其中a_0, a_2!= 0
: 定义H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2)
: 令分母的零点为p_0, p_1, 其中R:=max{|p_0|, |p_1|}
: 并假设 R < 1
: 则我们知道H(z)可以在{|z|>R}展开成H(z) = Σ_{n=0} h_n * z^(-n)
: 我想知道 Σ_{n=0} |h_n| 跟这些系数有什麽公式上的关系?
: P.S. (1) 如果分子跟分母的零点有相同, 那只会让展开范围更大而已
: (2) h_n = 0 for all n < 0是因为我取最外面的ROC, 因此是causal case
: (3) 假设R<1是为了让 Σ_{n=0} |h_n| < ∞
: -----------------------------------------------------------
: 问题动机如下:(y_n := (h＊x)_n, ＊是摺积)
: 我们知道一个LTI系统是BIBO <=> Σ_{n€Z} |h_n| < ∞
: 而且当BIBO时, 若|x_n| <= M 则 |y_n| <= M*Σ_{n€Z} |h_n|
: 今天我用差分方程实作y_n时, 我想要控制y_n的范围
: 因此我才想要拿到Σ_{n=0} |h_n|
: 另外google查过 "maximum output iir" 这类的关键字没得到想要的结果
: 顺带一提, 我原本认为看 |H(exp(iw))| 的最高点即可
: 也就是说, 假设|H(exp(iw))|在[0,2π]有global maximum G at w_0€[0,2π]
: 我原本以为会有 " 若|x_n|<=M, 则|y_n|<= G*M "
: 因此只要把输出除以G, 就能把输出控制在一样的M内
: 但是很容易有反例
: 还是说其实真的可以只看|H(exp(iw))| 的最高点即可, 只是系数要配好?
: ===========================================================================
: 谢谢帮忙~
想厘清一下问题是否是这样:
已满足BIBO stability condition的一边(sufficient)
y_n := (h＊x)_n
(1) |x_n| <= M
(2) <h_n>1 :=Σ_{n€Z} |h_n| < ∞ (我用< >1表示1-norm不然很丑)
可证明|y_n| bounded by: |y_n|<= M乘<h_n>1
因为实用上虽然已知|y_n| bounded 但想控制y_n 需要<h_n>1的值
所以想至少拿到上界?
如果是这样
H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2)
上下都是degree为2的 多项式
建议先相除 再改为partial fraction的形式:
所以可以整理成 H(z)=C_2 + C_0/(z-p_0) + C1/(z-p_1) *
p_0, p_1是你上面写的poles
C_i是由你的系数决定的复数 i=0, 1, 2
三角不等式: |H(x)|< |C_2| + |C_0/(z-p_0)| + |C1/(z-p_1)|
(粗略想法而已後面直接展开了)
而且我们知道Lorentz展开有唯一性
可以讨论形式 C/(z-p) z, C, p都是复数
你的case在poles外面展开且R<1 令 |p|<|z|, 1<|z| (选绝对值大於1的|z|)
C/(z-p)=(1/z)[C/(1-p/z)] ,因为|p/z|<1
=(C/z)(Σ_{n=0} h3_n * z^(-n)) , for some h3_n€C (这边只是1/(1-r)展开)
=C(Σ_{n=1} h3_n * z^(-n))
其实 h3_n=p^(n-1)
式* 中第二第三项可以展开成上面形式
得到: H(x)= C_2
+ C_0(Σ_{n=1} h0_n * z^(-n)) + C_1(Σ_{n=1} h1_n * z^(-n))
for some C_0, C_1, h0_n, h1_n€C
其实 h0_n=(p_0)^(n-1)
h1_n=(p_1)^(n-1)
三角不等式:
|H(x)|< |C_2|
+ |C_0|Σ_{n=1}|h0_n|*|z^(-n)| + |C_1|Σ_{n=1} |h1_n|*|z^(-n)|
< |C_2| + |C_0|Σ_{n=1}|h0_n| + |C_1|Σ_{n=1} |h1_n| ,因为|z|>1
^^^^^^^^可以求和回去 ^^^^^^^^可以求和回去
: 令M0 令M1
: 唯一性: h_n=C0乘h0_n+C1乘h1_n
: h_0=C2
: 三角不等式(取|z|>1): <h_n>1<=|C_2| + |C0|乘M0 + |C1|乘M1
原本要控制<h_n>1 现在改成控制|C_2|, |C_1|, |C_0|, |p_0|, |p_1|
拿到一个很粗糙上界
不知道有没有帮助?
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 203.204.39.221 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1662568713.A.755.html
※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/08/2022 00:46:34
1F：推 znmkhxrw : 谢谢h大回应, 我回覆如下: 09/08 17:27
2F：→ znmkhxrw : (1) 您对问题的重新叙述, 跟我的问题是100%吻合 09/08 17:27
3F：推 znmkhxrw : (2) 看後面的逻辑, 你是估计出某个M使得|H(z)|<=M? 09/08 17:31
4F：→ znmkhxrw : 其中z是某个满足|z|>1的复数 09/08 17:32
5F：→ znmkhxrw : 如果是这样的话, 我不懂下列(A)式为什麽能推得(B)式 09/08 17:33
6F：→ znmkhxrw : (A) |H(z)|<=M for some |z|>1 09/08 17:33
7F：→ znmkhxrw : (B) Σ_{n€整数} |h_n| < ∞ 09/08 17:34
8F：→ znmkhxrw : 因为绝对值的方向过不去 09/08 17:34
9F：推 Vulpix : h_n=h0_n+h1_n，代进1-norm，绝对值用三角不等式拆 09/08 18:05
10F：→ Vulpix : 开。然後会拿到两个等比级数，加起来即可。 09/08 18:05
11F：→ bluepal : Sorry昨天後面都重复 复制贴上贴上漏了一段... 09/08 18:21
12F：→ bluepal : 对 用Lorent expansion的唯一性 09/08 18:22
13F：→ bluepal : 所以才会有一个唯一性流在上面没动... 09/08 18:22
14F：→ bluepal : 重点在那边发现可以根本求和回去 09/08 18:23
15F：→ bluepal : 如果要写证明那段可以略去 直接写V大说的 09/08 18:23
16F：→ bluepal : 只是我习惯把思路写下来 09/08 18:24
17F：→ bluepal : 我改一下好了 09/08 18:24
※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/08/2022 18:28:37
18F：推 znmkhxrw : 麻烦了, 我还是对不太上QQ 09/08 18:24
19F：→ bluepal : 绿色那段 我这次用M1 M2不然好长.. 09/08 18:29
20F：→ bluepal : 想法是用partial fraction分解把系数的责任丢到C2 09/08 18:33
21F：→ bluepal : C0 C1身上 09/08 18:33
22F：→ bluepal : 这样分解有好处 跑出来的Lorentz 展开是poles的等比 09/08 18:33
23F：→ bluepal : 级数可以求和 09/08 18:33
24F：→ bluepal : 因为有唯一性 原本的 h_n 和後来的三等分其实一对一 09/08 18:34
25F：→ bluepal : h_n的1-norm 就能用後来那三分控制 09/08 18:35
26F：→ bluepal : 因为如果用你一开始系数太难做了所以才用分解着手 09/08 18:36
27F：→ bluepal : 不过因为是2次原本系数和C之间有公式解 09/08 18:36
28F：→ bluepal : 如果高次 有机会知道ROC可以直接带R就好 09/08 18:44
29F：→ bluepal : 也不用理poles有哪些 09/08 18:44
30F：→ bluepal : 我最後的忘记乘C1,C0了...C2+C1乘M1+C0乘M0 09/08 18:53
※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/08/2022 18:55:10
31F：→ bluepal : 顺便改成M1 M2 09/08 18:55
32F：→ bluepal : M0 M1囧 09/08 18:55
33F：推 znmkhxrw : 我看懂idea了, 把h写成h1+h2, 其中後两者的1-norm即 09/09 05:39
34F：→ znmkhxrw : 是几何级数即可! 另外我说不等式方向怪怪的是在b大 09/09 05:39
35F：→ znmkhxrw : 三角不等式那边的叙述, 这样h的1norm会带有z项, 跟 09/09 05:39
36F：→ znmkhxrw : 所求的h的1norm仍有段距离, 因此照V大说的直接对h=h 09/09 05:39
37F：→ znmkhxrw : 1+h2取绝对值跟三角不等式後sum起来就结束了, 谢谢 09/09 05:39
38F：→ znmkhxrw : 两位帮忙~ 09/09 05:39
39F：→ bluepal : 3个系数C也要考虑 如果你要控制上界 即使有R也要 09/09 19:09
40F：→ bluepal : 这里只是把苦工从原本系数转嫁到求C和求根而已 09/09 19:10
41F：→ bluepal : 求根是最难的在高次 不过如果直接有ROC 困难点在C 09/09 19:10
42F：→ bluepal : 我是觉得宁可把中间的想法写出来对读者比较友善 09/09 19:12
43F：→ bluepal : 所以中间很多多余的式子 有时候没经过中间过程 09/09 19:12
44F：→ bluepal : 只会让别人觉得你到底在干嘛 之後又要再讲一遍 09/09 19:13
45F：→ bluepal : 不然中间那个(粗略想法.. )和一半出现的L展开唯一 09/09 19:13
46F：→ bluepal : 性也可以完全不用写 09/09 19:14
47F：→ bluepal : 这个证明直接顺顺把式子写完就出来了 09/09 19:14
48F：→ bluepal : 最简洁证明就是(1)写出分解後的展开(2)比较系数 09/09 19:15
49F：→ bluepal : (3)三角不等式 END 09/09 19:15
50F：→ bluepal : 然後多余一点就是absolute convergence可以做 09/09 19:18
51F：→ bluepal : rearrangement不影响求和 09/09 19:18
52F：→ bluepal : 我承认写想法也可以赚P币(?) 09/09 19:27
53F：推 znmkhxrw : 理解你的意思 我是发问者所以就会下意识认为每句话 09/09 22:50
54F：→ znmkhxrw : 都是在推导或是证明我的需求 当看到没那麽直接相关 09/09 22:50
55F：→ znmkhxrw : 却好像又有关系的式子 我就会去猜对方是想表达什麽 09/09 22:50
56F：→ znmkhxrw : 又或是我误会了什麽 或是对方在延伸什麽 因此b大你 09/09 22:50
57F：→ znmkhxrw : 的"写成部分分式+展开几何级数+系数唯一+对系数取三 09/09 22:50
58F：→ znmkhxrw : 角不等式後取级数", 这样就是我认为的正解, 而不同 09/09 22:50
59F：→ znmkhxrw : 人对於上述的表达方式可能不太一样, 所以就有讨论 09/09 22:50
60F：→ znmkhxrw : 的空间, 谢谢! 09/09 22:50
※ 编辑: bluepal (203.204.39.221 台湾), 09/10/2022 00:46:42
61F：→ bluepal : 让我赚一点P币也好(?) 09/10 00:46