作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[分析] 差分係數與反Z轉換絕對和關係
時間Tue Sep 6 14:28:01 2022
想請問一下給定係數a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2, 其中a_0, a_2!= 0
定義H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2)
令分母的零點為p_0, p_1, 其中R:=max{|p_0|, |p_1|}
並
假設 R < 1
則我們知道H(z)可以在
{|z|>R}展開成H(z) = Σ_{n=0} h_n * z^(-n)
我想知道
Σ_{n=0} |h_n| 跟這些
係數有什麼公式上的關係?
P.S. (1) 如果分子跟分母的零點有相同, 那只會讓展開範圍更大而已
(2) h_n = 0 for all n < 0是因為我取最外面的ROC, 因此是causal case
(3) 假設R<1是為了讓
Σ_{n=0} |h_n| < ∞
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問題動機如下:(y_n := (h＊x)_n, ＊是摺積)
我們知道一個LTI系統是BIBO <=> Σ_{n€Z} |h_n| < ∞
而且當BIBO時,
若|x_n| <= M 則 |y_n| <= M*Σ_{n€Z} |h_n|
今天我用差分方程實作y_n時, 我想要
控制y_n的範圍
因此我才想要拿到Σ_{n=0} |h_n|
另外google查過 "maximum output iir" 這類的關鍵字沒得到想要的結果
順帶一提, 我
原本認為看 |H(exp(iw))| 的最高點即可
也就是說, 假設|H(exp(iw))|在[0,2π]有global maximum G at w_0€[0,2π]
我原本
以為會有 " 若|x_n|<=M, 則|y_n|<= G*M "
因此只要把輸出除以G, 就能把輸出控制在一樣的M內
但是很容易有反例
還是說其實真的可以只看|H(exp(iw))| 的最高點即可, 只是
係數要配好?
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謝謝幫忙~
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.25.109.95 (臺灣)
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※ 編輯: znmkhxrw (114.25.109.95 臺灣), 09/06/2022 15:03:18
1F：推 bluepal : 分母的零點為什麼有三個啊？09/06 18:06
啊 謝謝 筆誤 兩個而已
※ 編輯: znmkhxrw (42.79.101.191 臺灣), 09/06/2022 22:09:11
2F：→ recorriendo : h(n) is impulse response09/07 10:02
3F：→ recorriendo : Then, apply Parseval's equality 09/07 10:03
4F：→ recorriendo : and Cauchy's inequality09/07 10:20
5F：→ recorriendo : 重點是檢查filter stability吧 這個網路恨多資料09/07 11:07
6F：→ recorriendo : 不用執著求那個absolute sum09/07 11:07
我之前有查DTFT的Parseval identity, 形式上是時域的2-norm並非是BIBO的1-norm, 所
以我就當作沒作用了耶
另外r大你說可查filter stabilty這個關鍵字以及不用執著absolute sum, 我查filter s
tability多半在講pole的分布VS是否BIBO, 是有其他的我沒找到嗎
我今天的問題是我知道BIBO了, 但我想要知道這個"上界"在哪
7F：→ recorriendo : 哈 搜了一下 不是本來以為簡單 只有在單位圓上收斂 09/08 01:13
8F：→ recorriendo : 的條件不保證h為l1 09/08 01:13
9F：→ recorriendo : 但在包含單圓的一個環帶中各點收斂就足夠了 09/08 01:15
11F：→ recorriendo : 當然如果是BA係數來的filter 知道poles都在單位圓 09/08 02:03
12F：→ recorriendo : 內部 那就已經滿足了在包含單位圓的一個環帶上收斂 09/08 02:03
嗨r大, 我怎麼覺得這部分的推文跟我想知道的"上界在哪"沒有關係@@?
你這個推文跟連結應該是在表達:
(1) 在單位圓上處處收斂
不代表 在單位圓上絕對收斂(h是L1), 反之成立
(2) 在一個包含單位圓的環帶處處收斂
可推得 在單位圓上絕對收斂
(pf: 冪級數的Abel定理)
但是(1)&(2)好像跟我的問題沒關係XD
※ 編輯: znmkhxrw (36.230.129.81 臺灣), 09/08/2022 17:25:09