作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 差分系数与反Z转换绝对和关系
时间Tue Sep 6 14:28:01 2022
想请问一下给定系数a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2, 其中a_0, a_2!= 0
定义H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2)
令分母的零点为p_0, p_1, 其中R:=max{|p_0|, |p_1|}
并
假设 R < 1
则我们知道H(z)可以在
{|z|>R}展开成H(z) = Σ_{n=0} h_n * z^(-n)
我想知道
Σ_{n=0} |h_n| 跟这些
系数有什麽公式上的关系?
P.S. (1) 如果分子跟分母的零点有相同, 那只会让展开范围更大而已
(2) h_n = 0 for all n < 0是因为我取最外面的ROC, 因此是causal case
(3) 假设R<1是为了让
Σ_{n=0} |h_n| < ∞
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问题动机如下:(y_n := (h＊x)_n, ＊是摺积)
我们知道一个LTI系统是BIBO <=> Σ_{n€Z} |h_n| < ∞
而且当BIBO时,
若|x_n| <= M 则 |y_n| <= M*Σ_{n€Z} |h_n|
今天我用差分方程实作y_n时, 我想要
控制y_n的范围
因此我才想要拿到Σ_{n=0} |h_n|
另外google查过 "maximum output iir" 这类的关键字没得到想要的结果
顺带一提, 我
原本认为看 |H(exp(iw))| 的最高点即可
也就是说, 假设|H(exp(iw))|在[0,2π]有global maximum G at w_0€[0,2π]
我原本
以为会有 " 若|x_n|<=M, 则|y_n|<= G*M "
因此只要把输出除以G, 就能把输出控制在一样的M内
但是很容易有反例
还是说其实真的可以只看|H(exp(iw))| 的最高点即可, 只是
系数要配好?
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谢谢帮忙~
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 114.25.109.95 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1662445683.A.FE1.html
※ 编辑: znmkhxrw (114.25.109.95 台湾), 09/06/2022 15:03:18
1F：推 bluepal : 分母的零点为什麽有三个啊？09/06 18:06
啊 谢谢 笔误 两个而已
※ 编辑: znmkhxrw (42.79.101.191 台湾), 09/06/2022 22:09:11
2F：→ recorriendo : h(n) is impulse response09/07 10:02
3F：→ recorriendo : Then, apply Parseval's equality 09/07 10:03
4F：→ recorriendo : and Cauchy's inequality09/07 10:20
5F：→ recorriendo : 重点是检查filter stability吧 这个网路恨多资料09/07 11:07
6F：→ recorriendo : 不用执着求那个absolute sum09/07 11:07
我之前有查DTFT的Parseval identity, 形式上是时域的2-norm并非是BIBO的1-norm, 所
以我就当作没作用了耶
另外r大你说可查filter stabilty这个关键字以及不用执着absolute sum, 我查filter s
tability多半在讲pole的分布VS是否BIBO, 是有其他的我没找到吗
我今天的问题是我知道BIBO了, 但我想要知道这个"上界"在哪
7F：→ recorriendo : 哈 搜了一下 不是本来以为简单 只有在单位圆上收敛 09/08 01:13
8F：→ recorriendo : 的条件不保证h为l1 09/08 01:13
9F：→ recorriendo : 但在包含单圆的一个环带中各点收敛就足够了 09/08 01:15
11F：→ recorriendo : 当然如果是BA系数来的filter 知道poles都在单位圆 09/08 02:03
12F：→ recorriendo : 内部 那就已经满足了在包含单位圆的一个环带上收敛 09/08 02:03
嗨r大, 我怎麽觉得这部分的推文跟我想知道的"上界在哪"没有关系@@?
你这个推文跟连结应该是在表达:
(1) 在单位圆上处处收敛
不代表 在单位圆上绝对收敛(h是L1), 反之成立
(2) 在一个包含单位圆的环带处处收敛
可推得 在单位圆上绝对收敛
(pf: 幂级数的Abel定理)
但是(1)&(2)好像跟我的问题没关系XD
※ 编辑: znmkhxrw (36.230.129.81 台湾), 09/08/2022 17:25:09