作者cornerstone (cornerstone)
看板Math
標題[中學] 排列組合的問題
時間Fri Sep 2 02:12:20 2022
我有兩題不太確定自己的想法是否正確，
以及是否有更好的解法，想請教板上的朋友
1)粉絲啦啦隊有n個成員(n>2)，
老闆買了四種不同顏色的手環要給啦啦隊的每一個人，
每一個人都剛好發一個，但隊長和副隊長一定需要不同顏色的手環
（老闆每一種顏色的手環的數量都大於n）
這樣總共有多少種發法？
我的想法是：每一個人都有四種選擇除了隊長和副隊長
所以先扣掉這兩個人，有n-2的隊員，每個都有4種選擇，所以就是4^(n-2)
接下來隊長有4種選擇，而副隊長就只剩三種，
所以總數就變成 4^(n-2) * 4 * 3 ＝4^(n-1)*3
不知道這樣的思考方式是否正確？
2) 早餐店有五種主食：漢堡，蛋餅，三明治，包子，饅頭
三種飲料：咖啡，豆漿，紅茶
如果你去早餐店主食和飲料，每樣都至少要點一個，
（也可以五種主食和三種飲料都點）
這樣總共會有幾種組合方式？
這題我的解法有點笨：就是把全部狀況都寫出來，
但總覺一定有更好的解題方法，不知道大家是否能幫忙一下
我目前只有想到列出：
一種主食配一種飲料的情況
一種主食配兩種飲料
一種..... 三......
兩種主食..一......
兩種......兩種....
....一直寫到五種主食配三種飲料，但這樣光是列出來就要列15種狀況，
還要從C5取一的主食*C3取一開始算到C5取5*C3取3
然後再全部相加，但總覺得一定有更好的方法，
所以想先請教各位，我目前的想法對嗎？
更簡單的想法和算法是怎麼樣呢？
謝謝大家！
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1F：推 doa2 : 第二題你意思應該是主食跟飲料各至少要點一個？ 09/02 04:33
2F：→ doa2 : 那就是(2^5-1)(2^3-1)，每樣都可以選擇點或不點， 09/02 04:34
3F：→ doa2 : 扣掉全都不點的情況 09/02 04:34
4F：→ theoculus : {C5取1+..+C5取5}*{C3取1+..+C3取3}=(2^5-1)(2^3-1) 09/02 23:21
5F：→ bluepal : CN取0+CN取1+....CN取N=2^N 09/02 23:25
6F：推 LPH66 : 第二題我補一個原 PO 可能的盲點好了: 09/02 23:34
7F：→ LPH66 : 原 PO 列 15 種狀況時應該有注意到它是左邊五類取一 09/02 23:34
8F：→ LPH66 : 再右邊三類取一對吧? 這裡就能發現這兩種其實是滿足 09/02 23:35
9F：→ LPH66 : 乘法原理的作用: 主食和飲料分別有某些種取法 09/02 23:35
10F：→ LPH66 : 因此總取法就是兩種取法數相乘; 發現這點之後 09/02 23:35
11F：→ LPH66 : 再個別去討論兩邊的取法就能得到上面推文的作法了 09/02 23:36
12F：→ LPH66 : 原 PO 可能就是沒注意到這裡提早使用了乘法原理 09/02 23:37
13F：→ LPH66 : 造成兩邊其實都變成「取 K 種」的一小類所以難算 09/02 23:37
14F：推 bluepal : 他題目應該要寫明主食類和飲料兩類都至少點一種... 09/02 23:39
15F：→ cornerstone : 真的真的太謝謝大家了！是的，題目沒寫清楚，主食和 09/03 01:11
16F：→ cornerstone : 飲料至少要選一種～另外請問第一題的想法是對的嗎？ 09/03 01:15
17F：→ cornerstone : 謝謝大家分享第二題的思考方式，還點出我的盲點... 09/03 01:25
18F：→ cornerstone : 我沒想通為什麼C5取1到C5取5剛好會是2^5-1？請問這 09/03 03:11
19F：→ cornerstone : 部分關鍵字是什麼？我覺得我可能需要..會跟巴斯卡 09/03 03:12
20F：→ cornerstone : 有關嗎？我觀念部分需要加強...有建議嗎？ 09/03 03:16
21F：→ WinRARdotrar: 試試看展開(1+1)^n 09/03 17:43
22F：→ cornerstone : 謝謝！！ 09/05 11:09