作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[分析] 連續&離散型週期函數之最小週期(Solved)
時間Tue Aug 2 15:47:11 2022
想討論下面事情:
-------------------------------------------------
令f(x) :R→R 為具有最小週期為p的週期函數
f_k(n):N→R, defined by f_k(n):=f(n*p/k) for all k€N
即取樣頻率 = k/p
則可知for each k€N, f_k(n+k) = f_k(n), 即k是離散型週期函數f_k的週期
但是
k不一定是f_k的最小週期(反例有需要我再提供)
我的猜想是k夠大就可以:
存在K€N使得f_k的最小週期都是k for all k>=K
更好的是可以得到
K與f(x)的定量關係
--------------------------------------------------
這個猜想我覺得是對的原因是k越大, 相當於取樣頻率越大, 點越密集到逼近連續
而由於f_k的最小週期m_k會整除任何週期, 因此有m_k│k, 即存在q€N使得k = q*m_k
而因為q是正整數, 所以我高度猜測k夠大時q會被逼到1
最後提一下這個問題的動機, 因為訊號處理錄訊號是離散的, 所以在某個取樣頻率f_s下
我錄製的離散型訊號如果最小週期是m, 在假設:(1) 原訊號有最小週期p
(2) p*f_s€N
可以得到m│p*f_s
所以當整除變成相等時, 我就能推得p = m/f_s
也就是說, 我一開始問的問題如果是對的, 那有足夠的理由去說明:
只要取樣頻率越高, 原訊號的最小週期就是離散訊號的最小週期除以取樣頻率
再麻煩各位板友, 謝謝!
=================================
<Update>
(1)
在找反例的過程, 我想到用處處不連續的函數造
但是我目前想到的
處處不連續函數都沒有最小週期
如果可以提供處處不連續但是有最小週期的函數也麻煩提供一下
謝謝!
(2)
我現在證到: 若f(x)是連續函數, 則原命題成立
但是想要
拔掉連續函數, 就必須證另外一個猜想:
---------------------------------------------------
令f(x)為具有最小週期p>0的週期函數
若(1) f至少有一個連續點(因為週期函數, 所以有無窮多個)
(2) 存在0<s<=p 使得f(x) = f(x+s), for all x, x+p in the set of continuous po
ints of f
則 s = p
---------------------------------------------------
謝謝幫忙~
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.230.140.182 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1659426433.A.82F.html
1F：推 PPguest : 在[0,1)之間,有理數是0,無理數是1,以1為週期一直重08/02 20:33
2F：→ PPguest : 複,不知道這樣有沒有滿足(1)08/02 20:34
嗨P大, 這個經典的函數是任何正有理數都是週期, 所以不存在最小週期
剛剛朋友給了例子, f(x) = 2+sin(2*pi*x), x 有理
0 , x 無理
則f(x)是最小週期為1的週期函數而且處處不連續
※ 編輯: znmkhxrw (36.230.140.182 臺灣), 08/02/2022 20:37:51
3F：→ PPguest : 無理數是不是也有一樣的問題?正無理數的整數倍應該08/02 20:57
4F：→ PPguest : ……先當我沒說08/02 20:58
5F：→ PPguest : 這種造法正無理數不會是週期,沒有問題08/02 21:02
6F：推 PPguest : 那這個函數呢？在[0,1)區間,x是有理數時是0,x是無理08/02 21:42
7F：→ PPguest : 數時是x,這樣最小週期應該是108/02 21:43
我有誤會你的造法嗎 這個也是所有正有理數都是週期耶@@
8F：→ PPguest : f(pi/4+0.1)=/=f(pi/4)08/02 21:50
9F：→ PPguest : ≠08/02 21:52
喔喔我看太快, 我以為你只是0,1互調XD, 那是沒錯
10F：推 LPH66 : 把上面函數的 x 換成 (x-q)(x-q-1/2) 其中 0<q<1/208/02 23:15
11F：→ LPH66 : 是無理數, 這樣好像是你後面那猜想的反例 08/02 23:16
12F：→ LPH66 : 所有連續點是 q+n/2 (n 整數) 其值都是 0 08/02 23:16
喔喔!! L大的意思是這個函數f(x)如你所造的話, 就會是最小週期為1的週期函數
然後f(x+1/2) = f(x) for all x in the set of continuous points of f
13F：→ PPguest : 在[0,1)區間,x是有理數時是0的例子,如果我沒想錯,應 08/03 19:38
14F：→ PPguest : 該是最前面猜想的反例.因為取樣的點都是有理數,值都 08/03 19:38
15F：→ PPguest : 一樣,這樣子不論K多大,離散數列的"最小週期"都是1 08/03 19:41
16F：推 PPguest : 原來已經解決了.好奇請問一下,這個問題有需要考慮取 08/03 20:27
17F：→ PPguest : 樣的頻率有可能沒有剛好對到原函數的週期p嗎？ 08/03 20:28
要, 就是只能考慮那些具有 f_s*p€正整數 的取樣頻率f_s
而為了討論方便, 所以我po文時就直接令取樣率f_s = k/p了
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 08/03/2022 21:42:00