作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 连续&离散型周期函数之最小周期(Solved)
时间Tue Aug 2 15:47:11 2022
想讨论下面事情:
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令f(x) :R→R 为具有最小周期为p的周期函数
f_k(n):N→R, defined by f_k(n):=f(n*p/k) for all k€N
即取样频率 = k/p
则可知for each k€N, f_k(n+k) = f_k(n), 即k是离散型周期函数f_k的周期
但是
k不一定是f_k的最小周期(反例有需要我再提供)
我的猜想是k够大就可以:
存在K€N使得f_k的最小周期都是k for all k>=K
更好的是可以得到
K与f(x)的定量关系
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这个猜想我觉得是对的原因是k越大, 相当於取样频率越大, 点越密集到逼近连续
而由於f_k的最小周期m_k会整除任何周期, 因此有m_k│k, 即存在q€N使得k = q*m_k
而因为q是正整数, 所以我高度猜测k够大时q会被逼到1
最後提一下这个问题的动机, 因为讯号处理录讯号是离散的, 所以在某个取样频率f_s下
我录制的离散型讯号如果最小周期是m, 在假设:(1) 原讯号有最小周期p
(2) p*f_s€N
可以得到m│p*f_s
所以当整除变成相等时, 我就能推得p = m/f_s
也就是说, 我一开始问的问题如果是对的, 那有足够的理由去说明:
只要取样频率越高, 原讯号的最小周期就是离散讯号的最小周期除以取样频率
再麻烦各位板友, 谢谢!
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<Update>
(1)
在找反例的过程, 我想到用处处不连续的函数造
但是我目前想到的
处处不连续函数都没有最小周期
如果可以提供处处不连续但是有最小周期的函数也麻烦提供一下
谢谢!
(2)
我现在证到: 若f(x)是连续函数, 则原命题成立
但是想要
拔掉连续函数, 就必须证另外一个猜想:
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令f(x)为具有最小周期p>0的周期函数
若(1) f至少有一个连续点(因为周期函数, 所以有无穷多个)
(2) 存在0<s<=p 使得f(x) = f(x+s), for all x, x+p in the set of continuous po
ints of f
则 s = p
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谢谢帮忙~
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.230.140.182 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1659426433.A.82F.html
1F：推 PPguest : 在[0,1)之间,有理数是0,无理数是1,以1为周期一直重08/02 20:33
2F：→ PPguest : 复,不知道这样有没有满足(1)08/02 20:34
嗨P大, 这个经典的函数是任何正有理数都是周期, 所以不存在最小周期
刚刚朋友给了例子, f(x) = 2+sin(2*pi*x), x 有理
0 , x 无理
则f(x)是最小周期为1的周期函数而且处处不连续
※ 编辑: znmkhxrw (36.230.140.182 台湾), 08/02/2022 20:37:51
3F：→ PPguest : 无理数是不是也有一样的问题?正无理数的整数倍应该08/02 20:57
4F：→ PPguest : ……先当我没说08/02 20:58
5F：→ PPguest : 这种造法正无理数不会是周期,没有问题08/02 21:02
6F：推 PPguest : 那这个函数呢？在[0,1)区间,x是有理数时是0,x是无理08/02 21:42
7F：→ PPguest : 数时是x,这样最小周期应该是108/02 21:43
我有误会你的造法吗 这个也是所有正有理数都是周期耶@@
8F：→ PPguest : f(pi/4+0.1)=/=f(pi/4)08/02 21:50
9F：→ PPguest : ≠08/02 21:52
喔喔我看太快, 我以为你只是0,1互调XD, 那是没错
10F：推 LPH66 : 把上面函数的 x 换成 (x-q)(x-q-1/2) 其中 0<q<1/208/02 23:15
11F：→ LPH66 : 是无理数, 这样好像是你後面那猜想的反例 08/02 23:16
12F：→ LPH66 : 所有连续点是 q+n/2 (n 整数) 其值都是 0 08/02 23:16
喔喔!! L大的意思是这个函数f(x)如你所造的话, 就会是最小周期为1的周期函数
然後f(x+1/2) = f(x) for all x in the set of continuous points of f
13F：→ PPguest : 在[0,1)区间,x是有理数时是0的例子,如果我没想错,应 08/03 19:38
14F：→ PPguest : 该是最前面猜想的反例.因为取样的点都是有理数,值都 08/03 19:38
15F：→ PPguest : 一样,这样子不论K多大,离散数列的"最小周期"都是1 08/03 19:41
16F：推 PPguest : 原来已经解决了.好奇请问一下,这个问题有需要考虑取 08/03 20:27
17F：→ PPguest : 样的频率有可能没有刚好对到原函数的周期p吗？ 08/03 20:28
要, 就是只能考虑那些具有 f_s*p€正整数 的取样频率f_s
而为了讨论方便, 所以我po文时就直接令取样率f_s = k/p了
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 08/03/2022 21:42:00