作者arrenwu (不是綿芽的錯)
看板Math
標題Re: [機統] 兩獨立標準常態給定和小於0
時間Thu Jul 28 19:43:23 2022
※ 引述《coastq22889 (chi_square)》之銘言：
: 遇到一題給定 X, Y為兩獨立標準常態
: 求給定X+Y<0的情況下，X, Y的相關係數
: https://i.imgur.com/ar26bon.png
: 目前是想說分別算出X, Y的條件共變異數與條件變異數
: 但積分積不出來，不知道這個方向對不對
: https://i.imgur.com/hCcarMQ.jpg
: 懇請大家給點方向
這問題等於是在問
X,Y ~ N(0,1) and i.i.d. 求: E[XY | X+Y <0]
∞ ∞
E[XY | X+Y <0] = ∫ ∫xy pdf(x,y| X+Y <0)dydx
-∞ -∞
pdf_XY(x,y)*1{x+y <0}(x,y)
而這裡 pdf(x,y|X+Y < 0) = ---------------
Pr(X+Y < 0)
其中 (1) pdf_XY(x,y) 是 X,Y 的 joint pdf, 也就是 exp(-x^2/2)*exp(-y^2/2)/2pi
(2) 1{x+y<0}(x,y) = 1 , if x+y < 0
0 , otherwise
接著，
∞ ∞
E[XY | X+Y <0] = ∫ ∫xy pdf(x,y| X+Y <0)dydx
-∞ -∞
∞ -x
=1/(2pi Pr(X+Y < 0)) ∫ ∫xy exp(-x^2/2)*exp(-y^2/2)dydx
-∞ -∞
∞ -x
=1/(2pi Pr(X+Y < 0)) ∫xexp(-x^2/2)[∫ yexp(-y^2/2) dy] dx
-∞ -∞
剩下的積分就不難做了
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角卷綿芽給予炭治郎的建議
https://i.imgur.com/0mPdESk.jpg
https://i.imgur.com/Ts4dBjy.jpg
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1F：推 coastq22889 : 因為E(XY|X+Y<0)可以因為標準常態的對稱性 07/28 20:15
2F：→ coastq22889 : 所以直接得出等於0，我遇到的困難主要是E(X|X+Y<0) 07/28 20:15
3F：→ coastq22889 : 照上面的脈絡可以列式成以下 07/28 20:15
處理 E[X|X+Y<0] 那邊可以換一下積分順序
因為 xexp(x^2/2) 的反導函數有closed form
∞ ∞
E[X | X+Y <0] = ∫ ∫x pdf(x,y| X+Y <0)dxdy
-∞ -∞
∞ -y
=∫exp(-y^2/2)[∫xexp(-x^2/2)dx]dy / 1/(2pi Pr(X+Y < 0))
-∞ -∞
確認一下，你應該知道下面這個?
∞
∫exp(-x^2/2)dx = √(2pi)
-∞
5F：→ coastq22889 : 我想使用分部積分的方式，但是過程中卻遇到∞-∞ 07/28 20:15
6F：→ coastq22889 : 不知道是有什麼分部積分的前提我忽略了 07/28 20:15
7F：→ coastq22889 : 還是計算錯誤嗎 07/28 20:15
※ 編輯: arrenwu (165.225.243.22 美國), 07/28/2022 20:29:00
8F：推 coastq22889 : 這個close form我知道，令u=x+y, v=x-y 07/28 20:43
9F：→ coastq22889 : 可以積出結果 07/28 20:43