作者arrenwu (不是绵芽的错)
看板Math
标题Re: [机统] 两独立标准常态给定和小於0
时间Thu Jul 28 19:43:23 2022
※ 引述《coastq22889 (chi_square)》之铭言：
: 遇到一题给定 X, Y为两独立标准常态
: 求给定X+Y<0的情况下，X, Y的相关系数
: https://i.imgur.com/ar26bon.png
: 目前是想说分别算出X, Y的条件共变异数与条件变异数
: 但积分积不出来，不知道这个方向对不对
: https://i.imgur.com/hCcarMQ.jpg
: 恳请大家给点方向
这问题等於是在问
X,Y ~ N(0,1) and i.i.d. 求: E[XY | X+Y <0]
∞ ∞
E[XY | X+Y <0] = ∫ ∫xy pdf(x,y| X+Y <0)dydx
-∞ -∞
pdf_XY(x,y)*1{x+y <0}(x,y)
而这里 pdf(x,y|X+Y < 0) = ---------------
Pr(X+Y < 0)
其中 (1) pdf_XY(x,y) 是 X,Y 的 joint pdf, 也就是 exp(-x^2/2)*exp(-y^2/2)/2pi
(2) 1{x+y<0}(x,y) = 1 , if x+y < 0
0 , otherwise
接着，
∞ ∞
E[XY | X+Y <0] = ∫ ∫xy pdf(x,y| X+Y <0)dydx
-∞ -∞
∞ -x
=1/(2pi Pr(X+Y < 0)) ∫ ∫xy exp(-x^2/2)*exp(-y^2/2)dydx
-∞ -∞
∞ -x
=1/(2pi Pr(X+Y < 0)) ∫xexp(-x^2/2)[∫ yexp(-y^2/2) dy] dx
-∞ -∞
剩下的积分就不难做了
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角卷绵芽给予炭治郎的建议
https://i.imgur.com/0mPdESk.jpg
https://i.imgur.com/Ts4dBjy.jpg
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1F：推 coastq22889 : 因为E(XY|X+Y<0)可以因为标准常态的对称性 07/28 20:15
2F：→ coastq22889 : 所以直接得出等於0，我遇到的困难主要是E(X|X+Y<0) 07/28 20:15
3F：→ coastq22889 : 照上面的脉络可以列式成以下 07/28 20:15
处理 E[X|X+Y<0] 那边可以换一下积分顺序
因为 xexp(x^2/2) 的反导函数有closed form
∞ ∞
E[X | X+Y <0] = ∫ ∫x pdf(x,y| X+Y <0)dxdy
-∞ -∞
∞ -y
=∫exp(-y^2/2)[∫xexp(-x^2/2)dx]dy / 1/(2pi Pr(X+Y < 0))
-∞ -∞
确认一下，你应该知道下面这个?
∞
∫exp(-x^2/2)dx = √(2pi)
-∞
5F：→ coastq22889 : 我想使用分部积分的方式，但是过程中却遇到∞-∞ 07/28 20:15
6F：→ coastq22889 : 不知道是有什麽分部积分的前提我忽略了 07/28 20:15
7F：→ coastq22889 : 还是计算错误吗 07/28 20:15
※ 编辑: arrenwu (165.225.243.22 美国), 07/28/2022 20:29:00
8F：推 coastq22889 : 这个close form我知道，令u=x+y, v=x-y 07/28 20:43
9F：→ coastq22889 : 可以积出结果 07/28 20:43