作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[分析] 最小週期函數相加的最小週期
時間Fri Jul 15 03:16:29 2022
先嚴格敘述想證明或反正的東西之後再補上我的觀察:
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令f為具有最小週期p_1的週期函數
g為具有最小週期p_2的週期函數
若(1) p_1/p_2 = q/p, 其中p,q是互質的整數
(2) f+g是具有最小週期的週期函數
則f+g的最小週期是p_1*p=p_2*q
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一般很常看到的敘述是:
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令f為週期p_1的週期函數
g為週期p_2的週期函數
若p_1/p_2 = q/p, 其中p,q是整數
則f+g是週期p_1*p=p_2*q的週期函數
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也就說沒規定最小週期, 也沒規定互質, 一切都很寬鬆
而今天我f,g加上了最小週期以及週期比例互質後, 仍發現f+g可能不會有最小週期
如: f(x) = sin(x), g(x) = -sin(x), 相加後變成常數, 不具有最小週期
因此我才猜測, 如果
更加強迫f+g是有最小周期的, 那是否最小週期就是p_1*p=p_2*q
目前證明跟反例都找不到...
網路上都是f+g是否為週期函數的等價條件討論, 不是我要的
再麻煩各位板友了, 謝謝！
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
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※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 07/15/2022 03:16:55
1F：→ willydp : f(x)=sin(x)+sin(2x), g(x)=-sin(x) 就是反例了？07/15 05:32
2F：→ znmkhxrw : 對耶...謝謝w大 原本我預期連續性可能可以證明 不07/15 06:06
3F：→ znmkhxrw : 用證了XD07/15 06:06
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 07/15/2022 06:07:13
4F：推 Vulpix : |sin x|+|cos x|是前車之鑑。07/15 06:13
5F：→ znmkhxrw : V大這個也是一個反例, 感覺很容易造成反例耶XD 看起 07/15 20:43
6F：→ znmkhxrw : 來相加後的最小週期只能看實際情況了07/15 20:43
7F：推 TimcApple : 設 f(x) 週期 T, g(x)=sum[k=1 to n-1] f(x+kT/n)07/16 23:51
8F：→ TimcApple : 則 f(x)+g(x) 為常數函數，或週期整除 T/n07/16 23:51
原來有這個, 等等玩玩看 謝謝!
9F：→ TimcApple : 這代表相加後，可以做出非常多奇怪週期 07/16 23:51
10F：推 Vulpix : 但可以給出一個 uniform upper bound: T。原題也一07/17 01:15
11F：→ Vulpix : 樣可以，但要找週期就只能一題一題看。07/17 01:15
了解~~
※ 編輯: znmkhxrw (42.79.143.139 臺灣), 07/17/2022 11:27:29