作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[分析] 最小周期函数相加的最小周期
时间Fri Jul 15 03:16:29 2022
先严格叙述想证明或反正的东西之後再补上我的观察:
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令f为具有最小周期p_1的周期函数
g为具有最小周期p_2的周期函数
若(1) p_1/p_2 = q/p, 其中p,q是互质的整数
(2) f+g是具有最小周期的周期函数
则f+g的最小周期是p_1*p=p_2*q
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一般很常看到的叙述是:
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令f为周期p_1的周期函数
g为周期p_2的周期函数
若p_1/p_2 = q/p, 其中p,q是整数
则f+g是周期p_1*p=p_2*q的周期函数
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也就说没规定最小周期, 也没规定互质, 一切都很宽松
而今天我f,g加上了最小周期以及周期比例互质後, 仍发现f+g可能不会有最小周期
如: f(x) = sin(x), g(x) = -sin(x), 相加後变成常数, 不具有最小周期
因此我才猜测, 如果
更加强迫f+g是有最小周期的, 那是否最小周期就是p_1*p=p_2*q
目前证明跟反例都找不到...
网路上都是f+g是否为周期函数的等价条件讨论, 不是我要的
再麻烦各位板友了, 谢谢！
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※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 07/15/2022 03:16:55
1F：→ willydp : f(x)=sin(x)+sin(2x), g(x)=-sin(x) 就是反例了？07/15 05:32
2F：→ znmkhxrw : 对耶...谢谢w大 原本我预期连续性可能可以证明 不07/15 06:06
3F：→ znmkhxrw : 用证了XD07/15 06:06
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 07/15/2022 06:07:13
4F：推 Vulpix : |sin x|+|cos x|是前车之监。07/15 06:13
5F：→ znmkhxrw : V大这个也是一个反例, 感觉很容易造成反例耶XD 看起 07/15 20:43
6F：→ znmkhxrw : 来相加後的最小周期只能看实际情况了07/15 20:43
7F：推 TimcApple : 设 f(x) 周期 T, g(x)=sum[k=1 to n-1] f(x+kT/n)07/16 23:51
8F：→ TimcApple : 则 f(x)+g(x) 为常数函数，或周期整除 T/n07/16 23:51
原来有这个, 等等玩玩看 谢谢!
9F：→ TimcApple : 这代表相加後，可以做出非常多奇怪周期 07/16 23:51
10F：推 Vulpix : 但可以给出一个 uniform upper bound: T。原题也一07/17 01:15
11F：→ Vulpix : 样可以，但要找周期就只能一题一题看。07/17 01:15
了解~~
※ 编辑: znmkhxrw (42.79.143.139 台湾), 07/17/2022 11:27:29