作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
標題Re: [線代] 為什麼一個 VS 必定存在 basis 要證明？
時間Fri May 20 21:25:00 2022
※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之銘言：
: 如題，我的構想是，先把 vector space 內的每個 vector 都納入 generating set，
: 接著再從 generating set 之內每次排除掉一個可以表成 set 內其他 vector 的線性
: 組合的 vector，這樣子逐步限縮，不就可以得到一個 linearly independent 的
: generating set，也就是 basis 了嗎？
: 那為什麼聖經本第 1.7 節還要特地討論這件事情呢？
大家好，小弟剛把聖經本第 1.7 節啃完，大概知道它的證明是怎麼 run 的了。
首先利用 maximal principle：在一個 set 的 family 裡面，如果每個 chain 都存在
各自的 maximal element，那整個 family 便存在一個 universal 的 maximal element.
Q1. 這裡正確性我覺得有點不太直覺，需要大神指點迷津。
假設 maximal principle 成立，那我們 claim 所有包含空集合的線性獨立子集之中，
每個 chain 取每個 element 的聯集，當然能包含每個 element，而且還能證明該聯集
也會線性獨立，因為任取有限個向量出來都一定會被最後面那個向量所屬的線性獨立集合
所包含，那 vector space 皆滿足 maximal principle，便存在 maximal 線性獨立子集，
而這就是 basis 了。
Q2. 這個證明沒辦法和例如多項式空間的基底可為 {1, x, x^2, x^3, ...} 的證明連結
起來，此外，課本說無限維度的向量空間基底數量都有相同的 cardinality，那應該就是
countable 個，這裡我也不懂。
有人能幫忙指點迷津嗎？
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1F：→ alan23273850: 感覺比較需要 Q1 跟 axiom of choice 等價性的說明. 05/20 21:28
2F：推 Vulpix : Q2只是一個特例，他的基底可以是{x^n}←這件事是從 05/20 22:44
3F：→ Vulpix : 定義來的。有點類似<(2,1)>的基底可以是{(2,1)}。 05/20 22:45
4F：→ Vulpix : 但你能每次都從特例找到適當的基底，不代表你知道任 05/20 22:46
5F：→ Vulpix : 何一個向量空間的基底是誰。 05/20 22:47
6F：→ Vulpix : 會解很多特別的ODE，但不是每個ODE丟給你你都會解。 05/20 22:48
7F：→ Vulpix : 有點像這種感覺。所以才要1.7。 05/20 22:49
8F：→ Vulpix : Q2是說某個V，dimV=∞，那V的基底都有相同的card.。 05/20 22:50
9F：→ Vulpix : 不是任意一個V的基底都countable。所以多項式的其他 05/20 22:51
10F：→ Vulpix : 基底的確也countable。 05/20 22:51
11F：推 Vulpix : AC本來就是一個很直覺又很不直覺的東西。 05/20 23:01
12F：→ Vulpix : The Axiom of Choice is obviously true, the well- 05/20 23:03
13F：→ Vulpix : ordering principle obviously false, and who can 05/20 23:03
14F：→ Vulpix : tell about Zorn's lemma? 05/20 23:03
15F：→ alan23273850: 良序公理 obviously false？？？課本定義non-finite 05/20 23:19
16F：→ alan23273850: dimensional 的 VS 都是 infinite-dimensional，但 05/20 23:19
17F：→ alan23273850: infinite-dimensional 不代表 dimV=∞？ 05/20 23:20
18F：→ alan23273850: 我想知道為何 maximal principle 是對的 05/20 23:20
19F：推 Vulpix : 那只是一句有名的話而已。AC就是這麼奇怪，甚至可 05/21 00:18
20F：→ Vulpix : 以搞出分球定理。然後你的敘述不是maximal princip 05/21 00:18
21F：→ Vulpix : le，是Zorn's lemma。 05/21 00:18
22F：推 ERT312 : It's a joke by Jerry Bona. 05/21 00:23
23F：→ ERT312 : 定理的內容與名稱有些混亂或對調 這個有歷史的因素 05/21 00:25
24F：推 ERT312 : 不過在 FriedBerg 是用 maximal principle 沒錯 05/21 00:27
25F：→ alan23273850: 謝謝 Vulpix大 指教！課本名稱確實有誤用～ 05/21 00:30
26F：推 Vulpix : dimV=∞，但∞不是 cardinality 啊。弄一個維度不 05/21 01:01
27F：→ Vulpix : 可數的向量空間也不難，把所有只在有限點上非零的 05/21 01:01
28F：→ Vulpix : 實函數收集起來就好。 05/21 01:01
30F：推 Vulpix : 沒有。an就是說那一個向量空間。一個無窮維向量空 05/21 02:02
31F：→ Vulpix : 間的所有基底都有相同的cardinality。 05/21 02:02
32F：→ Vulpix : 你這個誤解卡很久了吧。 05/21 02:03
33F：→ Vulpix : 他也說了這跟46頁的Cor 1類似，那個Cor我有印象， 05/21 02:09
34F：→ Vulpix : 應該就是「一個有限維向量空間的所有基底都一樣大 05/21 02:09
35F：→ Vulpix : 」所以可以定義一個叫維度的數字。而無窮維向量空 05/21 02:09
36F：→ Vulpix : 間的維度還沒有定義，直到這句話出來才能定義成某 05/21 02:09
37F：→ Vulpix : 個無限大的cardinality。 05/21 02:09
38F：推 RicciCurvatu: 他是說無限為吧 05/21 11:09
39F：→ RicciCurvatu: ‘’一個‘向量空間的‘所有’’基底都有一樣的card 05/21 11:09
40F：→ RicciCurvatu: inality 注意一下英文的‘for AN infinite-’是固定 05/21 11:09
41F：→ RicciCurvatu: 一個 05/21 11:09
42F：推 RicciCurvatu: Q1 的話你可能要去看 AC 跟Zorns lemma 等價的正面 05/21 11:17
43F：→ RicciCurvatu: 高維度泛函分析基本都直接從Zorns lemma （或這裡叫 05/21 11:17
44F：→ RicciCurvatu: maximum principle）談起 我知道一些書會避免使用AC 05/21 11:17
45F：→ RicciCurvatu: 然後專注在可數基底 05/21 11:17
46F：→ alan23273850: 原來是英文的問題哈哈 那我了解了 沒事 05/21 15:14