作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题Re: [线代] 为什麽一个 VS 必定存在 basis 要证明？
时间Fri May 20 21:25:00 2022
※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之铭言：
: 如题，我的构想是，先把 vector space 内的每个 vector 都纳入 generating set，
: 接着再从 generating set 之内每次排除掉一个可以表成 set 内其他 vector 的线性
: 组合的 vector，这样子逐步限缩，不就可以得到一个 linearly independent 的
: generating set，也就是 basis 了吗？
: 那为什麽圣经本第 1.7 节还要特地讨论这件事情呢？
大家好，小弟刚把圣经本第 1.7 节啃完，大概知道它的证明是怎麽 run 的了。
首先利用 maximal principle：在一个 set 的 family 里面，如果每个 chain 都存在
各自的 maximal element，那整个 family 便存在一个 universal 的 maximal element.
Q1. 这里正确性我觉得有点不太直觉，需要大神指点迷津。
假设 maximal principle 成立，那我们 claim 所有包含空集合的线性独立子集之中，
每个 chain 取每个 element 的联集，当然能包含每个 element，而且还能证明该联集
也会线性独立，因为任取有限个向量出来都一定会被最後面那个向量所属的线性独立集合
所包含，那 vector space 皆满足 maximal principle，便存在 maximal 线性独立子集，
而这就是 basis 了。
Q2. 这个证明没办法和例如多项式空间的基底可为 {1, x, x^2, x^3, ...} 的证明连结
起来，此外，课本说无限维度的向量空间基底数量都有相同的 cardinality，那应该就是
countable 个，这里我也不懂。
有人能帮忙指点迷津吗？
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1F：→ alan23273850: 感觉比较需要 Q1 跟 axiom of choice 等价性的说明. 05/20 21:28
2F：推 Vulpix : Q2只是一个特例，他的基底可以是{x^n}←这件事是从 05/20 22:44
3F：→ Vulpix : 定义来的。有点类似<(2,1)>的基底可以是{(2,1)}。 05/20 22:45
4F：→ Vulpix : 但你能每次都从特例找到适当的基底，不代表你知道任 05/20 22:46
5F：→ Vulpix : 何一个向量空间的基底是谁。 05/20 22:47
6F：→ Vulpix : 会解很多特别的ODE，但不是每个ODE丢给你你都会解。 05/20 22:48
7F：→ Vulpix : 有点像这种感觉。所以才要1.7。 05/20 22:49
8F：→ Vulpix : Q2是说某个V，dimV=∞，那V的基底都有相同的card.。 05/20 22:50
9F：→ Vulpix : 不是任意一个V的基底都countable。所以多项式的其他 05/20 22:51
10F：→ Vulpix : 基底的确也countable。 05/20 22:51
11F：推 Vulpix : AC本来就是一个很直觉又很不直觉的东西。 05/20 23:01
12F：→ Vulpix : The Axiom of Choice is obviously true, the well- 05/20 23:03
13F：→ Vulpix : ordering principle obviously false, and who can 05/20 23:03
14F：→ Vulpix : tell about Zorn's lemma? 05/20 23:03
15F：→ alan23273850: 良序公理 obviously false？？？课本定义non-finite 05/20 23:19
16F：→ alan23273850: dimensional 的 VS 都是 infinite-dimensional，但 05/20 23:19
17F：→ alan23273850: infinite-dimensional 不代表 dimV=∞？ 05/20 23:20
18F：→ alan23273850: 我想知道为何 maximal principle 是对的 05/20 23:20
19F：推 Vulpix : 那只是一句有名的话而已。AC就是这麽奇怪，甚至可 05/21 00:18
20F：→ Vulpix : 以搞出分球定理。然後你的叙述不是maximal princip 05/21 00:18
21F：→ Vulpix : le，是Zorn's lemma。 05/21 00:18
22F：推 ERT312 : It's a joke by Jerry Bona. 05/21 00:23
23F：→ ERT312 : 定理的内容与名称有些混乱或对调 这个有历史的因素 05/21 00:25
24F：推 ERT312 : 不过在 FriedBerg 是用 maximal principle 没错 05/21 00:27
25F：→ alan23273850: 谢谢 Vulpix大 指教！课本名称确实有误用～ 05/21 00:30
26F：推 Vulpix : dimV=∞，但∞不是 cardinality 啊。弄一个维度不 05/21 01:01
27F：→ Vulpix : 可数的向量空间也不难，把所有只在有限点上非零的 05/21 01:01
28F：→ Vulpix : 实函数收集起来就好。 05/21 01:01
30F：推 Vulpix : 没有。an就是说那一个向量空间。一个无穷维向量空 05/21 02:02
31F：→ Vulpix : 间的所有基底都有相同的cardinality。 05/21 02:02
32F：→ Vulpix : 你这个误解卡很久了吧。 05/21 02:03
33F：→ Vulpix : 他也说了这跟46页的Cor 1类似，那个Cor我有印象， 05/21 02:09
34F：→ Vulpix : 应该就是「一个有限维向量空间的所有基底都一样大 05/21 02:09
35F：→ Vulpix : 」所以可以定义一个叫维度的数字。而无穷维向量空 05/21 02:09
36F：→ Vulpix : 间的维度还没有定义，直到这句话出来才能定义成某 05/21 02:09
37F：→ Vulpix : 个无限大的cardinality。 05/21 02:09
38F：推 RicciCurvatu: 他是说无限为吧 05/21 11:09
39F：→ RicciCurvatu: ‘’一个‘向量空间的‘所有’’基底都有一样的card 05/21 11:09
40F：→ RicciCurvatu: inality 注意一下英文的‘for AN infinite-’是固定 05/21 11:09
41F：→ RicciCurvatu: 一个 05/21 11:09
42F：推 RicciCurvatu: Q1 的话你可能要去看 AC 跟Zorns lemma 等价的正面 05/21 11:17
43F：→ RicciCurvatu: 高维度泛函分析基本都直接从Zorns lemma （或这里叫 05/21 11:17
44F：→ RicciCurvatu: maximum principle）谈起 我知道一些书会避免使用AC 05/21 11:17
45F：→ RicciCurvatu: 然後专注在可数基底 05/21 11:17
46F：→ alan23273850: 原来是英文的问题哈哈 那我了解了 没事 05/21 15:14