※ 引述《emptie ([ ])》之銘言： : 標題: Re: [中學] abc的可能範圍 : 時間: Wed May 18 16:50:12 2022 : : ※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之銘言： : : 三正數 a+b+c=1 且 任一數不大於另一數的兩倍 : : 求 三數乘積 abc 的可能範圍？ : : 不失一般性 : 假設 a≧b≧c : 由算幾不等式知道abc最大值發生在a=b=c=1/3的時候，此時abc=1/27 : : 任一數不大於另一數的兩倍 : 所以 : 2c≧a : 2b≧a : : 3a≧a+b+c ≧ a+a/2+a/2 = 2a : 得到a的範圍 1/2≧ a ≧1/3 : : : 為什麼極值不會發生在三角形內部？ : https://i.imgur.com/3weDXwz.png : 這是函數 z=xy(1-x-y) : 的圖形 : 應該也可以用偏微分檢定去證明x=y=1/3是唯一的臨界點 : 然後再把頂點代入看看極值在哪 : : 只是我在想，這樣好像繞了一大圈 : 不知道有沒有比較簡單的想法來切入這題 如果要堅持不用微積分也是可以的。 從 2c≧a≧b≧c 繼續下去，一樣先從固定某個屬於 [1/3,1/2] 的 a 著手。 所以 2c≧a≧1-a-c≧c => (1-a)/2≧c≧max(a/2,1-2a) 問題出在不知道 a/2 和 1-2a 哪個比較大，那就分成兩個情況。 i) a/2≧1-2a 此時 2/5≦a≦1/2 並且為了讓 bc 最小，要把 b 和 c 拆得越開越好。 所以 min bc = (1-3a/2)a/2，括弧裡就是拆最開的時候的 b。 當 a 固定在 [2/5,1/2] 其中的某數時，abc 的最小值是 (1-3a/2)a^2/2。 ii) a/2≦1-2a 此時 1/3≦a≦2/5 而 min bc = a(1-2a)，拆最開的時候 b=a。 當 a 固定在 [1/3,2/5] 其中的某數時，abc 的最小值是 a^2*(1-2a)。 如果要用微積分，那就不用看下去，直接用一階檢定把最小值找出來。 先從比較好說明的 a^2*(1-2a) 來， 這個三次函數的對稱中心在 a=1/6，而且 a=0 是極小點。 所以由對稱性知道 a=1/3 是極大點，並且在 [1/3,2/5] 上嚴格遞減。 那自然當 a 在 [1/3,2/5] 中，abc 的最小值發生在 a=2/5。 再來是 (1-3a/2)a^2/2，對稱中心在 2/9，而且 a=0 一樣是極小點。 所以由對稱性知道 a=4/9 是極大點， 並且在 [4/9,1/2] 上嚴格遞減、在 [2/5,4/9] 上嚴格遞增。 代入 2/5 得 4/125，代入 1/2 得 1/32。 1/32 比較小，是最小值。 不過如果要用微積分，那一開始就把可行解區域找出來， 然後在內部找臨界點，在邊界上另外參數化找極值，這樣就好。 --

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