※ 引述《emptie ([ ])》之铭言： : 标题: Re: [中学] abc的可能范围 : 时间: Wed May 18 16:50:12 2022 : : ※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之铭言： : : 三正数 a+b+c=1 且 任一数不大於另一数的两倍 : : 求 三数乘积 abc 的可能范围？ : : 不失一般性 : 假设 a≧b≧c : 由算几不等式知道abc最大值发生在a=b=c=1/3的时候，此时abc=1/27 : : 任一数不大於另一数的两倍 : 所以 : 2c≧a : 2b≧a : : 3a≧a+b+c ≧ a+a/2+a/2 = 2a : 得到a的范围 1/2≧ a ≧1/3 : : : 为什麽极值不会发生在三角形内部？ : https://i.imgur.com/3weDXwz.png : 这是函数 z=xy(1-x-y) : 的图形 : 应该也可以用偏微分检定去证明x=y=1/3是唯一的临界点 : 然後再把顶点代入看看极值在哪 : : 只是我在想，这样好像绕了一大圈 : 不知道有没有比较简单的想法来切入这题 如果要坚持不用微积分也是可以的。 从 2c≧a≧b≧c 继续下去，一样先从固定某个属於 [1/3,1/2] 的 a 着手。 所以 2c≧a≧1-a-c≧c => (1-a)/2≧c≧max(a/2,1-2a) 问题出在不知道 a/2 和 1-2a 哪个比较大，那就分成两个情况。 i) a/2≧1-2a 此时 2/5≦a≦1/2 并且为了让 bc 最小，要把 b 和 c 拆得越开越好。 所以 min bc = (1-3a/2)a/2，括弧里就是拆最开的时候的 b。 当 a 固定在 [2/5,1/2] 其中的某数时，abc 的最小值是 (1-3a/2)a^2/2。 ii) a/2≦1-2a 此时 1/3≦a≦2/5 而 min bc = a(1-2a)，拆最开的时候 b=a。 当 a 固定在 [1/3,2/5] 其中的某数时，abc 的最小值是 a^2*(1-2a)。 如果要用微积分，那就不用看下去，直接用一阶检定把最小值找出来。 先从比较好说明的 a^2*(1-2a) 来， 这个三次函数的对称中心在 a=1/6，而且 a=0 是极小点。 所以由对称性知道 a=1/3 是极大点，并且在 [1/3,2/5] 上严格递减。 那自然当 a 在 [1/3,2/5] 中，abc 的最小值发生在 a=2/5。 再来是 (1-3a/2)a^2/2，对称中心在 2/9，而且 a=0 一样是极小点。 所以由对称性知道 a=4/9 是极大点， 并且在 [4/9,1/2] 上严格递减、在 [2/5,4/9] 上严格递增。 代入 2/5 得 4/125，代入 1/2 得 1/32。 1/32 比较小，是最小值。 不过如果要用微积分，那一开始就把可行解区域找出来， 然後在内部找临界点，在边界上另外参数化找极值，这样就好。 --

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