作者emptie ([ ])
看板Math
標題Re: [中學] abc的可能範圍
時間Wed May 18 16:50:12 2022
※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之銘言：
: 三正數 a+b+c=1 且 任一數不大於另一數的兩倍
: 求 三數乘積 abc 的可能範圍？
不失一般性
假設 a≧b≧c
由算幾不等式知道abc最大值發生在a=b=c=1/3的時候，此時abc=
1/27
任一數不大於另一數的兩倍
所以
2c≧a
2b≧a
3a≧a+b+c ≧ a+a/2+a/2 = 2a
得到a的範圍 1/2≧ a ≧1/3
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1F：推 StellaNe : 3/6>1/6 * 2 05/18 17:43
我可能知道我哪裡弄錯了
後半段重新寫的話
2c≧a
2c≧1-b-c
3c+b≧1
a≧b
1-b-c≧b
1≧2b+c
https://i.imgur.com/HzO1PaQ.png
如果把只考慮b跟c的話他們的關係會像是這樣
（c是x軸 b是y軸）
其中a=b=c= 1/3 的時候有極大值
而a=1/2 b=c=1/4 的時候有極小值
為什麼極值不會發生在三角形內部？
https://i.imgur.com/3weDXwz.png
這是函數 z=xy(1-x-y)
的圖形
應該也可以用偏微分檢定去證明x=y=1/3是唯一的臨界點
然後再把頂點代入看看極值在哪
只是我在想，這樣好像繞了一大圈
不知道有沒有比較簡單的想法來切入這題
※ 編輯: emptie (180.217.51.71 臺灣), 05/18/2022 22:19:35
2F：推 Vulpix : 你讓b=2c的時候就強迫a也是2c了。 05/18 22:08
3F：→ TOMOHISA : 謝謝E大解答 05/19 08:37