作者emptie ([ ])
看板Math
标题Re: [中学] abc的可能范围
时间Wed May 18 16:50:12 2022
※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之铭言：
: 三正数 a+b+c=1 且 任一数不大於另一数的两倍
: 求 三数乘积 abc 的可能范围？
不失一般性
假设 a≧b≧c
由算几不等式知道abc最大值发生在a=b=c=1/3的时候，此时abc=
1/27
任一数不大於另一数的两倍
所以
2c≧a
2b≧a
3a≧a+b+c ≧ a+a/2+a/2 = 2a
得到a的范围 1/2≧ a ≧1/3
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1F：推 StellaNe : 3/6>1/6 * 2 05/18 17:43
我可能知道我哪里弄错了
後半段重新写的话
2c≧a
2c≧1-b-c
3c+b≧1
a≧b
1-b-c≧b
1≧2b+c
https://i.imgur.com/HzO1PaQ.png
如果把只考虑b跟c的话他们的关系会像是这样
（c是x轴 b是y轴）
其中a=b=c= 1/3 的时候有极大值
而a=1/2 b=c=1/4 的时候有极小值
为什麽极值不会发生在三角形内部？
https://i.imgur.com/3weDXwz.png
这是函数 z=xy(1-x-y)
的图形
应该也可以用偏微分检定去证明x=y=1/3是唯一的临界点
然後再把顶点代入看看极值在哪
只是我在想，这样好像绕了一大圈
不知道有没有比较简单的想法来切入这题
※ 编辑: emptie (180.217.51.71 台湾), 05/18/2022 22:19:35
2F：推 Vulpix : 你让b=2c的时候就强迫a也是2c了。 05/18 22:08
3F：→ TOMOHISA : 谢谢E大解答 05/19 08:37