作者emptie ([ ])
看板Math
標題Re: [中學] 排列組合一題
時間Tue Mar 29 22:24:30 2022
※ 引述《baba1234 (推理要在晚餐後)》之銘言：
: 將12個大小寫字母 A、B、C、D、E、F、a、b、c、d、e、f
: 兩兩任意配對，若配對時大小寫配在一起就算完整一組，
: 如 Aa、Bb、Cc、Dd、Ee、Ff，
: 求配對時，恰配成有完整兩組的情形有幾種？
: -----------------------------------------
: 求大神給答案和過程，感恩。
恰好形成完整兩組，也就是剩下4組皆不成對
不失一般性先用ABCD這四組來代表，
如果固定大寫字母的位置，問題實質上變成了排列4個小寫字母
且a不在第一位，b不在第二位，c不在第三位，d不在第四位的排列數
全部 - Aa成對 - Bb成對 - Cc成對 -Dd成對 +（6種兩組成對）-（4種三組成對）+
4組成對
=4! -4*3!+6*2!-4*1+1 = 9
所以答案就是 C(6,2)*9 = 135 種
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1F：→ baba1234 : 配對有大大、小小配，並不只有一般的大小配03/29 22:32
那……算法改一下
還是可以用排列剩下8個元素的想法去處理，但最後要除一個4!*2^4
以下的都是同一種組合
AB CD ab cd
ab cd AB CD （數組交換位置）
BA DC ab cd （組內前後對換位置）
全部 -Aa成對 -Bb成對 -Cc成對 -Dd成對 +（6種兩組成對）-（4種三組成對）+4組成對
= 8! - 4*(
C(4,1)*
2*
6!) + 6*(C(4,2)*2!*2^2*4!) - 4*(C(4,3)*3!*2^3*2!) + 4!*16
（先
決定成對元素的位置，
排列成對元素的順序，再
排列剩餘元素）
= 40320 - 4*8*6! + 6*6*2*4*4! -4*4*6*8*2 +4!*16
先除4!*2^4再加減
= 105 - 60 + 18 - 4 + 1
= 60
所求 C(6,2)*60 = 900 種
※ 編輯: emptie (1.200.189.237 臺灣), 03/29/2022 23:05:35
再次更正部分數字
2F：→ baba1234 : 中間扣除部分應該有錯，直覺認為 +18-48 這地方不對03/29 23:19
你是對的
※ 編輯: emptie (1.200.189.237 臺灣), 03/29/2022 23:21:29
3F：→ pnicarevol : 105 - 60 + 18 - 4 + 1 = 60 答案90003/29 23:35
4F：→ emptie : 啊…03/29 23:44
※ 編輯: emptie (1.200.189.237 臺灣), 03/29/2022 23:45:37
5F：→ baba1234 : 感謝大大解惑。 03/30 14:29